[논문 리뷰] Grothendieck-Lidskii trace formula for mixed-norm and variable Lebesgue spaces

Julio Delgado, Michael Ruzhansky외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 가중 혼합-norm 레베그 공간, 변동 지수 레베그 공간 및 그 관련 조합 모odulation 및 위erner-암알람 공간에서의 메트릭 근사 성질을 확립하고, 핵 연산자들을 특성화한다. 이러한 연산자들에 대해 그로텐디크-리드스키 추적 공식을 도출하며, 전역 기호를 통해 주기적 미분-논미분 연산자와 조화 진동자 함수에 응용한다. 고유값과 기호 적분을 포함한 명시적 추적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

In this note we present the metric approximation property for weighted mixed-norm $L_w^{(p_1,\dots ,p_n)}$ and variable exponent Lebesgue type spaces. As a consequence, this also implies the same property for modulation and Wiener-Amalgam spaces. We then characterise nuclear operators on such spaces and state the corresponding Grothendieck-Lidskii trace formulae. We apply the obtained results to derive criteria for nuclearity and trace formulae for periodic operators on $\mathbb R^n$ and functions of the harmonic oscillator in terms of the global symbol.

연구 동기 및 목표

• 가중 혼합-norm 레베그 공간 $L_w^{(p_1,\dots,p_n)}$ 과 변동 지수 레베그 공간 $L^{p(\cdot)}$ 에서의 메트릭 근사 성질을 확립하기 위해.
• 이 공간들에서의 $r$-핵 연산자들을 특성화하고, 해당하는 그로텐디크-리드스키 추적 공식을 도출하기 위해.
• 결과들을 토러스 $\mathbb{T}^n$ 상의 주기적 미분-논미분 연산자와 전역 기호를 통한 조화 진동자 함수에 적용하기 위해.
• 핵성과 추적 공식을 위한 충분조건을 기호의 감쇠성과 기호 및 승수 함수의 적분 가능성 조건에 따라 제시하기 위해.

제안 방법

• 기저 측도 공간의 구조와 쌍대성 논증을 이용하여 혼합-norm 레베그 공간에서의 메트릭 근사 성질을 증명하기 위해.
• 쌍대성과 인수분해 기법을 사용하여, 노름의 $r$-제곱 합이 수렴하는 이중 및 목표 공간의 수열을 통해 $r$-핵 연산자를 특성화하기 위해.
• 핵 연산자 이론을 적용하여 추적 공식을 고유값의 합과 기호 커널의 적분으로 도출하기 위해.
• 토로이드 양자화와 푸리에 급수 표현을 사용하여 $\mathbb{T}^n$ 상의 주기적 연산자와 $\ell^r(\mathbb{Z}^n)$ 에 속하는 기호를 분석하기 위해.
• $\ell^r$-합계 가능성을 이용하여 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 상의 $\alpha(x)(I - \Delta)^{-\tau/2}$ 형식의 연산자에 대한 추적 공식을 수립하기 위해.
• 특히 $r \leq 2/3$ 인 경우에 그로텐디크 이론을 통해 추적 공식과 스펙트럼 성질 간의 등가성을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 혼합-norm 레베그 공간과 변동 지수 레베그 공간에서 메트릭 근사 성질이 성립하는가?
• RQ2 혼합-norm 및 변동 지수 레베그 공간에서의 $r$-핵 연산자의 특성은 무엇인가?
• RQ3 그로텐디크-리드스키 추적 공식은 이러한 함수 공간 상의 연산자로 확장 가능한가?
• RQ4 토러스 $\mathbb{T}^n$ 상의 주기적 미분-논미분 연산자에 대해 핵성과 추적 공식을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 변동 지수 공간에서의 조화 진동자 함수의 추적은 전역 기호에 대해 어떻게 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 가중 혼합-norm 레베그 공간 $L_w^{(p_1,\dots,p_n)}$ 과 변동 지수 레베그 공간 $L^{p(\cdot)}$ 에서 메트릭 근사 성질이 성립한다.
• 선형 연산자 $T$ 가 $L^{p(\cdot)}(\mu)$ 에서 $L^{q(\cdot)}(\nu)$ 로의 $r$-핵 연산자일 필요충분조건은 수열 $g_n \in L^{q(\cdot)}(\nu)$, $h_n \in L^{p'(\cdot)}(\mu)$ 가 존재하여 $\sum_n \|g_n\|_{L^{q(\cdot)}}^r \|h_n\|_{L^{p'(\cdot)}}^r < \infty$ 를 만족하는 것이다.
• 모든 $r \leq 2/3$ 이고 $p^+ < \infty$ 인 경우, $L^{p(\cdot)}(\mu)$ 상의 $r$-핵 연산자의 추적은 중복 고유값의 합과 같다.
• $\alpha \in L^{p'(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 과 $\sigma(\xi) \in \ell^r(\mathbb{Z}^n)$ 인 경우, 연산자 $\alpha T_\sigma$ 는 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 상에서 $r$-핵 연산자이며, 추적은 $\int_{\mathbb{T}^n} \alpha(x)\,dx \cdot \sum_{\xi \in \mathbb{Z}^n} \sigma(\xi)$ 와 같다.
• $\mathbb{T}^n$ 상의 $\alpha(I - \Delta)^{-\tau/2}$ 에 대해 핵성은 $r\tau > n$ 인 경우 성립하며, 추적은 $\int_{\mathbb{T}^n} \alpha(x)\,dx \cdot \sum_{\xi \in \mathbb{Z}^n} (1 + 4\pi^2|\xi|^2)^{-\tau/2}$ 와 같다.
• 모든 $r \leq 2/3$ 이고 $p^+ < \infty$ 인 경우 추적은 고유값의 합과 같다: $\operatorname{Tr}(T) = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j$.