[논문 리뷰] Grothendieck ring of pretriangulated categories

Alexey Bondal, Michael Larsen외 1명|ArXiv.org|2004. 01. 02.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 미리삼각형 DG 범주에 대한 그로텐디크 링을 도입하며, 매끄럽고 사영인 다양체의 코herent sheaf의 유도 범주를 모델링하는 함자적 텐서곱을 통해 가환 링의 구조를 정의한다. 주요 기여는 다양체의 그로텐디크 링에서 이 링으로의 모티빅 측도를 정의하는 것으로, 아핀 직선의 클래스가 1로 매핑됨을 보이고, 곱의 유도 범주에서 커널 객체를 통한 표준 함자들의 표현 가능성을 증명한다.

ABSTRACT

We consider the abelian group $PT$ generated by quasi-equivalence classes of pretriangulated DG categories with relations coming from semi-orthogonal decompositions of corresponding triangulated categories. We introduce an operation of "multiplication" $\bullet$ on the collection of DG categories which makes this abelian group into a commutative ring. A few applications are considered: representability of "standard" functors between derived categories of coherent sheaves on smooth projective varieties and a construction of an interesting motivic measure.

연구 동기 및 목표

• 삼각형 범주에 자연스러운 곱 연산을 갖춘 그로텐디크 링을 구성하는 것.
• 삼각형 범주에서 콘의 비함자적 성질을 해결하기 위해, 대신 미리삼각형 DG 범주를 사용하는 것.
• 다양체의 그로텐디크 링에서 미리삼각형 범주의 그로텐디크 링으로의 모티빅 측도를 정의하는 것.
• 매끄럽고 사영인 다양체의 유도 범주 간의 표준 정확한 함자들이 곱의 유도 범주의 커널 객체를 통해 표현 가능하다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 반사 등가류의 미리삼각형 DG 범주로 생성되는 아벨 군 $\mathcal{P}\mathcal{T}$ 를 정의하고, 반직선 분해에서 유도되는 관계를 포함한다.
• 그들의 DG 강화에 대한 유도 텐서곱을 통해 DG 범주 위에 곱 $\bullet$ 을 도입한다.
• 매끄럽고 사영인 다양체 $X$ 에 대해, $I(X)$ 를 유계 아래에서의 임베딩 복합체의 DG 범주로 정의할 때, $I(X) \bullet I(Y) \cong I(X \times Y)$ 를 만족함을 보인다.
• 이 곱을 이용해 $K_0[\mathcal{V}_k] \to \Gamma_k$ 에서 $[X] \mapsto [I(X)]$ 를 보내는 링 준동형사상을 구성하며, 이는 $[\mathbb{L}] - 1$ 에 대한 몫을 통과한다.
• 모든 정확한 함자 $F: D(X) \to D(Y)$ 가 표준 강화 간의 DG 함자로부터 유도될 경우, $F(-) \cong \mathbb{R}q_*(p^*(-) \otimes^\mathbb{L} P)$ 를 통해 $D(X \times Y)$ 에 속한 객체 $P \in D(X \times Y)$ 를 통해 표현 가능하다는 것을 증명한다.
• 유도 범주의 블로업 공식을 적용하여, 블로업의 유도 범주의 반직선 분해를 이용해 $[I(X)]$ 를 $[I(Y)]$ 와 $[I(Z)]$ 와 관련지어 그로텐디크 군에서의 관계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형 범주의 그로텐디크 링에 유도 범주가 섬유곱에 대해 모델링되는 자연스러운 곱 연산을 부여할 수 있는가?
• RQ2 다양체의 그로텐디크 링에서 미리삼각형 범주의 그로텐디크 링으로의 함자 $X \mapsto D(X)$ 가 링 준동형사상으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 매끄럽고 사영인 다양체의 유도 범주 간의 모든 정확한 함자들이 곱의 유도 범주의 커널 객체를 통해 표현 가능한가?
• RQ4 모티빅 측도 $\mu: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}] \to \Gamma_\mathbb{C}$ 의 핵은 무엇이며, 이는 $[\mathbb{L}] - 1$ 을 포함하는가?
• RQ5 블로업의 유도 범주의 반직선 분해는 미리삼각형 범주의 그로텐디크 군에서 어떤 관계로 번역되는가?

주요 결과

• 유사등가류의 미리삼각형 DG 범주로 구성된 그로텐디크 링 $\Gamma_k$ 는 유도 텐서곱에 의해 유도되는 연산 $\bullet$ 에 대해 가환 링이다.
• 복소수 위에서의 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^{d-1}$ 의 클래스는 비엘린슨의 대각선 분해에 의해 $d$ 임을 보였다.
• 모티빅 측도 $\mu: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}] \to \Gamma_\mathbb{C}$ 는 $\mu([\mathbb{A}^1]) = 1$ 을 만족하므로, $\mu([\mathbb{L}]) = 1$ 이고, 이는 $[\mathbb{L}] - 1$ 이 핵에 속함을 의미한다.
• 다른 다양체 $Y$ 에서 $Z$ 를 따라 블로업한 $X$ 에 대해, $[I(X)] + [I(Z)] = [I(Y)] + [I(E)]$ 라는 관계가 $\Gamma_k$ 에서 성립하며, 여기서 $E$ 는 예외적 분해이다.
• 표준 강화 간의 DG 함자로부터 유도되는 모든 정확한 함자 $F: D(X) \to D(Y)$ 는 $F(-) \cong \mathbb{R}q_*(p^*(-) \otimes^\mathbb{L} P)$ 를 통해 $D(X \times Y)$ 에 속한 커널 객체 $P \in D(X \times Y)$ 를 통해 표현 가능하다.
• 유도된 사상 $\bar{\mu}: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}]/\langle \mathbb{L} - 1 \rangle \to \Gamma_\mathbb{C}$ 는 전사이며, 비록 단사일 것 같지는 않지만 매우 가까이 있음을 보였다.