[논문 리뷰] Grothendieck-Serre Conjecture I: Appendix

Ivan Panin, Anastasia Stavrova외 1명|ArXiv.org|2009. 10. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 부록은 무한체 위에서 매끄럽고 순수차원인 부분다양체와의 교차가 일반적일 때, 고도가 충분히 높은 초곡면의 교차에서 Bertini 유형의 정리가 성립함을 보이며, Artin의 Artin 이웃성에 대한 결과를 확장한다. 이를 통해 충분히 일반적인 고도가 높은 초곡면이 유한한 점들을 포함할 경우, 그 교차는 매끄럽고, 기약성을 유지하며, 이는 코homological descent와 Azumaya 대수에 대한 Hilbert의 정리 90을 통해 Grothendieck–Serre 추측에 핵심적인 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We prove here some supplementary statements that appeared without proof in I. Panin, A. Stavrova, N. Vavilov, On Grothendieck--Serre's conjecture concerning principal $G$-bundles over reductive group schemes:I, arXiv:0905.1418

연구 동기 및 목표

• 무한체 위에서 주어진 점들을 포함하는 매끄럽고 순수차원인 부분다양체에 대한 Artin의 Bertini 유형 정리를 확장하기 위해.
• 일반적인 초곡면이 매끄러운 부분다양체와 교차할 때 교차가 매끄럽게 이루어지는 조건을 설정하기 위해.
• 그러한 교차가 codimension이 차원보다 작을 경우 기약성(또는 기하학적 기약성)을 유지함을 증명하기 위해.
• 적절한 이웃성 구조를 구성하고 코homological descent를 적용함으로써 Grothendieck–Serre 추측의 증명을 뒷받침하기 위해.
• Shapiro–Faddeev 보조정리와 Azumaya 대수에 대한 Hilbert의 정리 90을 활용하여 국소적으로 반지름이 작은 스킴 위에서의 복합체를 단순화하기 위해.

제안 방법

• 유한 개의 점들을 중심으로 한 프로젝티브 공간의 블로우업을 통해, 블로우업 위에 매우 충분한 선다발을 구성함으로써, 더 높은 차원의 프로젝티브 공간에 대한 닫힌 매장이 가능하도록 함.
• 주어진 점들을 지나는 고도-d 초곡면의 이상층의 전역 단면을, 매장된 공간 내의 평면과 동일시함.
• 매장된 다양체에 대해 Artin의 교차성 결과(문헌 [A, Exp. XI]의 정리 2.1)를 적용하여 교차의 매끄러움을 유도함.
• 기저점 위에 있는 점들에서의 매끄러움을 확보하기 위해 고도 d를 증대시키며, O(d)/I^2(d)의 전역 단면의 상사성(전사성)을 활용함.
• Weil의 제약과 Shapiro–Faddeev 보조정리를 이용하여, P^1 위의 코homology 클래스를 유한 에탈 커버를 통한 기저 변경을 통해 기저 위의 클래스로 연결함.
• Azumaya 대수에 대한 Hilbert의 정리 90을 적용하여, 국소적으로 반지름이 작은 스킴 위에서의 주 복합체를 단순화함. 이는 섬유 위에서의 복합체의 단순성과 Horrocks의 정리에 의한 벡터 복합체의 단순성을 활용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충분히 높은 고도를 가진 일반적인 초곡면의 가닥이 매끄러운 부분다양체와 교차할 때, 어떤 조건에서 매끄럽게 교차하는가?
• RQ2 그러한 교차가 부분다양체의 기약성(또는 기하학적 기약성)을 유지하는가?
• RQ3 무한체 위에서 유한 개의 점이 제거된 매끄러운 스킴에 대해 적절한 Artin 이웃성을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 코homological descent 기법과 Hilbert의 정리 90을 조합하여, 재조정 그룹 스킴의 값이 P^1 위에서 주 복합체를 단순화할 수 있는가?
• RQ5 Weil의 제약은 Grothendieck–Serre 추측의 맥락에서 기저에서 유한 커버로의 코homology 클래스를 올리는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 무한체 k, P^n_k 내의 유한한 닫힌 점들의 집합, 그리고 V' ⊂ V ⊂ P^n_k인 매끄럽고 순수차원 부분다양체 V'에 대해, 어떤 정수 d가 존재하여, 주어진 점들을 포함하는 충분히 일반적인 고도 d의 초곡면에 대해, V'와의 교차는 매끄럽다.
• V가 기약적(또는 기하학적으로 기약적)이고 s < r = dim V일 경우, 동일한 d와 일반적인 초곡면에 대해, 교차 Y ∩ V는 기약적(또는 기하학적으로 기약적)이다.
• 블로우업과 매우 충분한 성질을 통한 매장 구성은, 대수적 폐쇄에서의 매끄러움이 기저 체에서의 매끄러움을 유도함을 보장한다.
• P^1 ×_U V 위의 복합체 F는 섬유에서 단순하고, 관련된 벡터 복합체가 Horrocks의 정리에 의해 단순하므로, 단순하다.
• 반지름이 작은 기저 V 위에서 Azumaya 대수의 코homology 클래스의 단순성은 H-복합체 F가 V로부터 올려진 것임을 의미하므로, F는 단순하다.
• 원래의 G-복합체 E는 기저 U 위의 G-복합체로부터 올려진 것이므로, Grothendieck–Serre 추측의 핵심적인 내림단계를 증명한다.