[논문 리뷰] Ground state forms of 1D symmetry protected topological phases and their utility as resource states for measurement based quantum computation

Abhishodh Prakash, Tzu-Chieh Wei|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 03.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유한 대칭군에 의해 보호되는 1차원 대칭 보호 상태(SPT) 위상의 고유 상태 형태를 제약하는 일반적인 형식적 접근법을 개발한다. 이는 이전의 Z2×Z2 대칭을 가진 스핀-1 사슬에 대한 연구를 확장한 것이다. A4 대칭을 가진 해밀토니안의 고유 상태로 AKLT 상태를 식별하여, 이는 항등원과 임의의 단일 큐비트 양자 게이트를 모두 지원하며, 측정 기반 양자 계산을 위한 유니버설 자원 상태로서의 유용성을 입증한다.

ABSTRACT

The program of classifying symmetry protected topological (SPT) phases in 1D has been recently completed and has opened the doors to study closely the properties of systems belonging to these phases. It was recently found that being able to constrain the form of ground states of SPT order based on symmetry properties also allows to explore novel resource states for processing of quantum information. In this paper, we generalize the consideration of Else et al. [Phys. Rev. Lett. {\bf 108}, 240505 (2012)] where it was shown that the ground-state form of spin-1 chains protected by $\mathbb{Z}_2 imes \mathbb{Z}_2$ symmetry supports perfect operation of the identity gate, important also for long-distance transmission of quantum information. We develop a formalism to constrain the ground-state form of SPT phases protected by any arbitrary finite symmetry group and use it to examine examples of ground states of SPT phases protected by various finite groups for similar gate protections. We construct a particular Hamiltonian invariant under $A_4$ symmetry transformation which is one of the groups that allows protected identity operation and examine its ground states. We find that there is an extended region where the ground state is the AKLT state, which not only supports the identity gate but also arbitrary single-qubit gates.

연구 동기 및 목표

• Z2×Z2 대칭을 초월하여 임의의 유한 군으로의 SPT 위상 고유 상태 분류를 확장하기 위해.
• 특히 항등원 게이트를 보호하는 SPT 위상이 어떤가를 규명하기 위해.
• 이러한 SPT 위상이 측정 기반 양자 계산을 위한 유니버설 자원 상태로 기능할 수 있는지 판단하기 위해.
• A4 대칭을 가지며 고유 상태가 유니버설 단일 큐비트 게이트를 지원하는 특정 해밀토니안을 구성하고 분석하기 위해.

제안 방법

• 해밀토니안의 대칭군 기반으로 고유 상태 파동함수를 제약하는 형식적 접근법을 개발하기 위해.
• 군 표현 이론을 활용하여 임의의 유한 대칭군 하에서 가능한 고유 상태 형태를 분류하기 위해.
• A4 군 변환에 대해 불변인 해밀토니안을 구성하고, SPT 순서를 유지하기 위해.
• A4 대칭 해밀토니안의 위상 다이어그램을 분석하여 고유 상태가 AKLT 상태가 되는 영역을 식별하기 위해.
• 측정 기반 양자 계산 프로토콜을 통해 AKLT 고유 상태가 항등원 및 임의의 단일 큐비트 게이트를 모두 지원함을 검증하기 위해.
• 기존 AKLT 상태의 성질을 활용하여 A4 대칭 하에서 이들의 자원 상태로서의 유니버설성을 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 SPT 위상에서 어떤 유한 대칭군이 고유 상태에서 보호된 항등원 게이트 작동을 가능하게 하는가?
• RQ2 A4와 같이 아벨리안이 아닌 군에 의해 보호되는 SPT 위상의 고유 상태가 유니버설 단일 큐비트 양자 게이트를 지원할 수 있는가?
• RQ3 A4 대칭 해밀토니안의 안정된 위상에서 AKLT 상태가 고유 상태로 나타나는가?
• RQ4 대칭 구조가 이러한 시스템에서 고유 상태 파동함수의 형태를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 아벨리안이 아닌 대칭군을 가진 SPT 위상은 측정 기반 양자 계산을 위한 유니버설 자원 상태로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• A4 대칭 해밀토니안은 고유 상태가 AKLT 상태가 되는 안정된 위상을 지님을 위상 다이어그램 분석을 통해 확인하였다.
• 이 시스템에서 AKLT 고유 상태는 정확한 항등원 게이트 작동을 지원하며, 이는 Z2×Z2 대칭에 대한 이전 결과를 확장한 것이다.
• 항등원 이외에도 A4 대칭 모델의 AKLT 상태는 임의의 단일 큐비트 양자 게이트를 지원하여 측정 기반 양자 계산에서의 유니버설성을 나타낸다.
• 형식적 접근법은 고유 상태 형태의 제약을 임의의 유한 대칭군으로 일반화하여 후보 자원 상태를 체계적으로 식별하는 데 성공하였다.
• A4 대칭 해밀토니안의 매개변수 공간에서 고유 상태가 여전히 AKLT 상태로 유지되는 확장된 영역을 식별하여 계산 성질의 강건성을 보장하였다.