[논문 리뷰] Ground state preparation and energy estimation on early fault-tolerant quantum computers via quantum eigenvalue transformation of unitary matrices

Yulong Dong, Lin Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초기 결함 내성 양자 컴퓨터에서 다단계 제어를 피하고 단일 보조 큐비트와 제어된 하미르토니안 진화를 사용하여 기초 상태 준비 및 에너지 추정을 가능하게 하는 새로운 양자 알고리즘인 유니터리 행렬에 대한 양자 고유값 변환(QET-U)을 소개한다. 이 방법은 낮은 회로 깊이로 near-optimal 쿼리 복잡도를 달성하여 현실적인 하드웨어 제약 조건 하에서 이전 방법보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

Under suitable assumptions, the algorithms in [Lin, Tong, Quantum 2020] can estimate the ground state energy and prepare the ground state of a quantum Hamiltonian with near-optimal query complexities. However, this is based on a block encoding input model of the Hamiltonian, whose implementation is known to require a large resource overhead. We develop a tool called quantum eigenvalue transformation of unitary matrices with real polynomials (QET-U), which uses a controlled Hamiltonian evolution as the input model, a single ancilla qubit and no multi-qubit control operations, and is thus suitable for early fault-tolerant quantum devices. This leads to a simple quantum algorithm that outperforms all previous algorithms with a comparable circuit structure for estimating the ground state energy. For a class of quantum spin Hamiltonians, we propose a new method that exploits certain anti-commutation relations and further removes the need of implementing the controlled Hamiltonian evolution. Coupled with Trotter based approximation of the Hamiltonian evolution, the resulting algorithm can be very suitable for early fault-tolerant quantum devices. We demonstrate the performance of the algorithm using IBM Qiskit for the transverse field Ising model. If we are further allowed to use multi-qubit Toffoli gates, we can then implement amplitude amplification and a new binary amplitude estimation algorithm, which increases the circuit depth but decreases the total query complexity. The resulting algorithm saturates the near-optimal complexity for ground state preparation and energy estimating using a constant number of ancilla qubits (no more than 3).

연구 동기 및 목표

• 초기 결함 내성 양자 컴퓨터에서 기초 상태 준비 및 에너지 추정을 위한 블록 인코딩 기반 방법의 높은 자원 오버헤드를 해결한다.
• 회로 깊이와 보조 큐비트 요구량을 줄이기 위해 제어된 하미르토니안 진화를 기반으로 실용적인 입력 모델을 개발한다.
• 다중 큐비트 제어 게이트가 없이 단일 보조 큐비트만을 사용하여 효율적인 기초 상태 에너지 추정 및 상태 준비를 가능하게 한다.
• 특정 희박한 양자 스핀 하미르토니안을 위해 반대칭 관계를 활용하여 제어된 하미르토니안 진화를 제거함으로써 알고리즘을 최적화한다.
• 횡방향 자기장 이징 모델에서 Qiskit 시뮬레이션을 통해 알고리즘의 실현 가능성과 성능을 입증한다.

제안 방법

• 하미르토니안 진화에서 유도된 유니터리 행렬의 고유값을 변환하기 위해 실수 다항식을 사용하는 양자 고유값 변환의 유니터리 행렬(QET-U)을 제안한다.
• 블록 인코딩과 다중 큐비트 제어 연산이 필요 없도록 단일 보조 큐비트와 제어된 시간 진동 $ U = e^{-i\tau H} $ 를 입력으로 사용한다.
• 보조 큐비트 측정 확률에 에너지 정보를 인코딩하는 제어 회전 프로토콜을 통해 알고리즘을 구현한다.
• 근처의 결함 내성 장치에 적합하도록 하미르토니안 진화의 트로터 기반 근사를 활용한다.
• 다중 큐비트 토플리 게이트가 이용 가능한 경우, 총 쿼리 복잡도를 줄이기 위해 앰플리튜드 강화와 새로운 이진 앰플리튜드 추정 알고리즘을 통합한다.
• 측정에서의 국소 확률 추정을 사용하여 파울리 기대값의 부호가 있는 선형 조합을 통해 기초 상태 에너지를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 결함 내성 장치에서 회로 깊이와 보조 큐비트 사용을 최소화하면서 near-optimal 쿼리 복잡도를 달성할 수 있는 기초 상태 에너지 추정 및 준비가 가능한가?
• RQ2 제어된 하미르토니안 진화 모델이 자원 오버헤드를 줄이기 위해 블록 인코딩을 대체할 수 있는가?
• RQ3 특정 하미르토니안(예: 횡방향 자기장 이징 모델)에서의 반대칭 관계를 활용하여 제어된 진화가 필요 없도록 할 수 있는가?
• RQ4 실제 양자 하드웨어 제약 조건 하에서 QET-U 알고리즘이 이전 방법과 비교해 쿼리 복잡도와 회로 깊이 측면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ5 완전한 상태 톰오그라피 없이 측정 데이터에서 국소 확률을 사용하여 에너지 추정을 효율적으로 수행할 수 있는가?

주요 결과

• QET-U 알고리즘은 다중 큐비트 제어 게이트가 없이 단일 보조 큐비트만을 사용하여 기초 상태 에너지 추정 및 준비에 near-optimal 쿼리 복잡도를 달성한다.
• 횡방향 자기장 이징 모델의 경우, 기초 상태를 위한 한 개의 회로와 모든 큐비트에 하다마드 게이트를 적용한 후의 한 개의 회로에서의 국소 확률 측정을 통해 에너지 추정이 가능하다.
• 블록 인코딩 기반 접근법에 비해 회로 깊이를 크게 줄여, 제한된 양자 혼돈 시간을 가진 초기 결함 내성 장치에 적합하다.
• 특정 하미르토니안에서의 반대칭 관계를 활용함으로써 제어된 하미르토니안 진화가 필요 없어지며, 이는 회로를 더욱 단순화시킨다.
• 토플리 게이트가 이용 가능한 경우, 앰플리튜드 강화와 새로운 이진 앰플리튜드 추정 알고리즘이 총 쿼리 복잡도를 줄이지만 회로 깊이는 증가시킨다.
• Qiskit를 사용한 수치적 결과는 알고리즘이 횡방향 자기장 이징 모델에서 잘 작동하며, 측정 빈도와 국소 확률에서 유도된 기초 상태 에너지가 정확하게 추정됨을 보여준다.