[논문 리뷰] Ground state solution for a class of differential equations with left and right fractional derivatives

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 20.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 35인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $\alpha \in (1/2, 1)$ 인 순서의 왼쪽과 오른쪽 리만-리우빌 분수도함수를 포함하는 분수미분방정식에 대해, 색다운 정리와 소벨레프 공간 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 내의 비교 논증을 이용하여 비자명한 기본 상태 해의 존재성을 확립한다. 주요 기여는 비선형성 $f(t,u)$에 일반적인 성장 조건을 두었을 때도 제약이 있는 강성 조건을 요구하지 않고 유한한 에너지를 가진 임계점의 존재성을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

In this work we study the existence of solution for a class of fractional differential equation given by \begin{eqnarray}\label{eq00} _{t}D_{\infty}^α{_{-\infty}}D_{t}^αu(t) + u(t) = & f(t,u(t))\\ u\in H^α(\mathbb{R}). onumber \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}$, $f\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Using mountain pass theorem and comparison argument we prove that ( ef{eq00}) at least has one nontrivial solution.

연구 동기 및 목표

• 분수미분방정식에 대해 왼쪽과 오른쪽 리만-리우빌 분수도함수를 포함하는 해의 존재성을 확립한다.
• 혼합 도함수를 가진 분수 문제에 임계점 이론을 적용하는 데 어려움을 해결하기 위해 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 내에서 적절한 변분 프레임워크를 구축한다.
• 비선형성 $f(t,u)$에 일반적인 성장 조건을 두었을 때도 강성 조건 $L(t) \geq l(t)I$를 요구하지 않고 기본 상태 해의 존재성을 증명한다.
• Palais-Smale 조건이 성립하고 함수가 산문 정리의 기하적 조건을 만족함을 보여, 임계점의 존재를 보장한다.

제안 방법

• 순서 $\alpha \in (1/2, 1)$ 에 대해 분수소벨레프 공간 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 내에서 문제를 변분 방정식으로 공식화하며, 연산자 ${}_{t}D_{\infty}^{\alpha}{{}_{-\infty}}D_{t}^{\alpha}u(t)$ 를 사용한다.
• 방정식 ${{}_{t}D_{\infty}^{\alpha}{{}_{-\infty}}D_{t}^{\alpha}u(t)} + u(t) = f(t,u(t))$ 와 관련된 에너지 함수 $I(u)$ 를 정의하고, 그 임계점들을 분석한다.
• 기하 조건을 검증함으로써 산문 정리를 적용한다: $I(0) = 0$, 일부 경로를 따라 $I(u) \to -\infty$, 그리고 $I$ 가 양의 최댓값을 갖는 경로가 존재한다.
• 원래 함수 $I$ 와 잘라낸 비선형성 $\overline{f}$ 와 관련된 수정된 함수 $\overline{I}$ 사이의 비교 논증을 통해 팔라이스-스멜 수열의 행동을 제어한다.
• 소벨레프 공간 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 내에서 컴팩트 임bedding 정리와 약한 수렴 논증을 활용하여, 이동 후 유계 Palais-Smale 수열이 강하게 수렴함을 보인다.
• 반증을 통해 비자명한 약한 해의 존재성을 확립한다. 즉, 수열 $\{w_n\}$ 이 무한대에서 소멸할 경우, 엄격한 부등식 $c < \overline{c}$ 와 모순됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 $\alpha \in (1/2, 1)$ 인 왼쪽과 오른쪽 리만-리우빌 도함수를 포함하는 분수미분방정식이 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 내에서 적어도 하나의 비자명한 해를 갖는가?
• RQ2 분수도함수의 비국소성과 표준적인 강성 조건의 부재에도 불구하고 산문 정리를 이 클래스의 방정식에 적용할 수 있는가?
• RQ3 잠재력 $L(t)$ 가 $L(t) \geq l(t)I$ 와 같은 강성 조건을 만족하지 않더라도 기본 상태 해의 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 비선형성 $f(t,u)$ 의 행동이 임계점의 존재성에 어떻게 영향을 미치는가? 특히 $f$ 가 영에서 초평면적이고 무한대에서 초평면적일 경우 어떻게 되는가?
• RQ5 함수 $I$ 와 $\overline{I}$ 사이의 비교 논증을 통해 Palais-Smale 수열의 소멸을 제거하고 비자명한 해의 존재를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 순서 $\alpha \in (1/2, 1)$ 이고 $f \in C(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ 이며 적절한 성장 조건을 만족할 경우, 방정식 ${{}_{t}D_{\infty}^{\alpha}{{}_{-\infty}}D_{t}^{\alpha}u(t)} + u(t) = f(t,u(t))$ 는 $H^\alpha(\mathbb{R})$ 내에서 적어도 하나의 비자명한 해를 갖는다.
• 해와 관련된 함수 $I(u)$ 는 산문 정리의 기하 조건과 (PS) 조건을 만족하며, 이는 수준 $c < \overline{c}$ 에서 임계점의 존재를 보장한다.
• 비자명한 약한 해 $u \in H^\alpha(\mathbb{R})$ 가 존재하며, 이는 모든 비자명한 임계점 중에서 최소 에너지를 가지므로 기본 상태 해이다.
• 이전 연구에서 사용된 제약이 있는 강성 조건 $L(t) \geq l(t)I$ 를 피함으로써, 결과는 더 넓은 범위의 문제에 적용 가능해진다.
• 함수 $I$ 와 $\overline{I}$ 사이의 비교 논증과 농축-콤팩트성 원리의 조합으로 Palais-Smale 수열의 소멸을 배제하여 비자명한 해의 존재를 보장한다.
• 함수 $I$ 의 임계값 $c$ 는 잘라낸 함수의 임계값 $\overline{c}$ 보다 엄격히 작으며, 이는 증명에서 반증 논증에 핵심적인 역할을 한다.