[논문 리뷰] Ground states of elliptic problems involving non homogeneous operators

Giovany M. Figueiredo, Humberto Ramos Quoirin|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 25.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 네하리 다양체 방법을 사용하여 비동차 연산자를 갖는 타원형 문제에 대한 기저 상태의 존재성을 확립한다. 이는 기능의 주요 부분이 동차가 아닐 경우에도 방법이 적용된다는 것을 보여준다. 주요 기여는 변분 방법을 비동차 설정으로 확장하여, 변수 지수와 비표준 성장 조건을 갖는 세 가지 경계값 문제에 대해 최소한 하나의 비자명한 음이 아닌 기저 상태와 무한히 많은 해 쌍의 존재를 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We investigate the existence of ground states for functionals with nonhomogenous principal part. Roughly speaking, we show that the Nehari manifold method requires no homogeinity on the principal part of a functional. This result is motivated by some elliptic problems involving nonhomogeneous operators. As an application, we prove the existence of a ground state and infinitely many solutions for three classes of boundary value problems.

연구 동기 및 목표

• 에너지 기능이 동차가 아닐 경우에도 네하리 다양체 방법을 동차 설정을 초월하여 비동차 주요 부분을 갖는 기능에 적용할 수 있도록 확장하는 것.
• 변수 지수나 비표준 성장 조건을 갖는 비동차 연산자를 포함하는 타원형 문제에 대해 기저 상태의 존재를 확립하는 것.
• p-라플라스형 및 변수 지수 연산자를 포함한 비동차 연산자를 갖는 문제에 적용 가능한 통합된 변분 프레임워크를 제공하는 것.
• 세 가지 경계값 문제에 대해 최소한 하나의 비자명한 음이 아닌 기저 상태와 무한히 많은 해 쌍의 존재를 증명하는 것.
• 전통적인 기저 상태 결과를 비동차 및 비정규 성장 조건으로 확장하는 것.

제안 방법

• 논문은 바나흐 공간 X 위에서 비동차, 균일 강凸, C¹ 기능 I₀와 특정 점근적 및 단조성 성질을 갖는 C¹ 기능 I로 구성된 기능 Φ = I₀ - I에 네하리 다양체 방법을 적용한다.
• 기능 Φ가 기하 조건 (A2) 및 (A3)을 만족함을 입증한다: 각 w ∈ S(단위 구면)에 대해 t ↦ Φ(tw)는 t_w > 0에서 유일한 최대값을 가지며, t_w는 0에서 일관되게 멀리 떨어져 있고 컴팩트 부분집합에서 유계이다.
• 이 방법은 네하리 다양체 𝒩이 X \ {0}의 C¹ 부분다양체임을 증명하고, Φ를 𝒩 위에서 최소화하면 Φ의 임계점이 된다는 데 기반한다.
• 분석은 Φ와 그 도함수의 약한 하부연속성과 D₀¹,𝐩(Ω) ↪ Lσ(Ω) (σ ∈ [1, p*))의 컴팩트 임bedding을 사용하며, 팔라이스-스무스 수열에서 수렴성을 보장한다.
• 일반화된 파oincaré 유형 부등식을 적용하고, I₀가 다음과 같은 동차성 유사 하한을 만족함을 이용한다: t > 1 및 ||u|| ≤ 1일 때 I₀(tu) ≥ C t^{p₁} ||u||^{p_N}.
• s ↦ I′(su)/s^{p-1}의 단조성과 약한 컴팩트 집합에서 s → ∞일 때 I(su)/s^p → ∞로의 균일 수렴성을 활용하여, 네하리 다양체에서의 최소화에 필요한 기하 조건을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 기능이 동차가 아니더라도 비동차 주요 부분을 갖는 기능에 대해 네하리 다양체 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ2 변수 지수 p(x)-라플라스형이나 비표준 성장 연산자를 포함하는 비동차 연산자를 갖는 타원형 문제에 대해 기저 상태 해의 존재성이 유지되는가?
• RQ3 비동차 기능 I₀와 비선형성 f에 대해 어떤 조건이 성립할 경우, Φ = I₀ - I가 네하리 다양체 위에서 최소화점을 갖게 되며, 이로부터 임계점이 유도되는가?
• RQ4 기능이 짝함수일 경우, 동차성이 없더라도 무한히 많은 해의 존재를 증명하기 위해 이 방법을 적용할 수 있는가?
• RQ5 비선형성 f와 연산자 I₀에 대해 어떤 구조적 가정이 네하리 다양체 접근법에 필요한 기하 조건 (A2) 및 (A3)을 보장하는 데 충분한가?

주요 결과

• 비동차 기능에 대해 네하리 다양체 방법이 확장되었으며, 기능의 주요 부분이 양의 동차가 아닐 경우에도 기저 상태가 존재함을 증명하였다.
• Ω 내부에서 −div(A(|∇u|^{p−2})∇u) = f(u) 및 u ∈ W₀¹,p(Ω)를 만족하는 문제에 대해, f의 적절한 성장 및 단조성 조건 하에서 비자명한 음이 아닌 기저 상태 해가 존재함을 입증하였다.
• 기능이 짝함수일 경우, 네하리 다양체 위에서 대칭 산맥 정리의 적용을 통해 무한히 많은 해 쌍의 존재를 확립하였다.
• I₀이 비동차일 경우에도, I₀(tu) ≥ C t^{p₁} ||u||^{p_N} (t > 1 및 ||u|| ≤ 1) 형태의 하한 조건을 만족하면, 기능 Φ는 기하 조건 (A2) 및 (A3)을 만족한다.
• 논문은 네하리 다양체가 C¹ 부분다양체임을 증명하고, Φ를 𝒩 위에서 최소화하면 임계점이 되며, 이는 기저 상태 해임을 입증하였다.
• 약한 하부연속성과 일반화된 파oincaré 부등식을 통해 팔라이스-스무스 수열의 수렴성을 확보하였으며, 이는 에너지 공간에서 약한 수렴이 강한 수렴을 유도함을 보장한다.