[논문 리뷰] Group actions on graphs and $C^*$-correspondences

Valentin Deaconu|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $C^*$-대응관계 위의 군 작용과 Cuntz-Pimsner 대수에서의 교차곱 및 고정점 대수의 구조 사이의 대응을 수립한다. 텐서 표현의 통합자들을 통해 Doplicher-Roberts 대수를 정의함으로써, 적절한 조건 하에서 컴acts군 작용 하의 $C^*$-대응관계에 대한 고정점 대수는 이 대수와 동형이며, 교차곱은 그것과 강한 Morita 동치임을 증명한다. 핵심 결과는 유한군 작용이 이산적이고 국소적으로 유한한 그래프에 작용할 경우, 교차곱이 $C^*$-대응관계의 그래프와 동형이며, 안정적으로 그래프 대수와 동형임을 보여주어 $K$-이론 계산이 가능하게 한다.

ABSTRACT

If $G$ acts on a $C^*$-correspondence ${\mathcal H}$, then by the universal property $G$ acts on the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}$ and we study the crossed product ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G$ and the fixed point algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$. Using intertwiners, we define the Doplicher-Roberts algebra ${\mathcal O}_ρ$ of a representation $ρ$ of a compact group $G$ on ${\mathcal H}$ and prove that ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$ is isomorphic to ${\mathcal O}_ρ$. When the action of $G$ commutes with the gauge action on ${\mathcal O}_{\mathcal H}$, then $G$ acts also on the core algebras ${\mathcal O}_{\mathcal H}^{\mathbb T}$, where $\mathbb T$ denotes the unit circle. We give applications for the action of a group $G$ on the $C^*$-correspondence ${\mathcal H}_E$ associated to a directed graph $E$. If $G$ is finite and $E$ is discrete and locally finite, we prove that the crossed product $C^*(E) times G$ is isomorphic to the $C^*$-algebra of a graph of $C^*$-correspondences and stably isomorphic to a locally finite graph algebra. If $C^*(E)$ is simple and purely infinite and the action of $G$ is outer, then $C^*(E)^G$ and $C^*(E) times G$ are also simple and purely infinite with the same $K$-theory groups. We illustrate with several examples.

연구 동기 및 목표

• 콤���군 $G$가 $C^*$-대수 $A$ 위의 $C^*$-대응관계 $\mathcal{H}$에 작용할 때 고정점 대수 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$와 교차곱 $\mathcal{O}_\mathcal{H} \rtimes G$의 구조를 연구하는 것.
• 대응관계 $\mathcal{H}$ 위의 군 표현 $\rho$의 텐서 거듭제곱의 통합자들로부터 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_\rho$를 정의하고, 특정 조건 하에서 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$와의 동형을 확립하는 것.
• 위상적 그래프에 대한 군 작용을 그에 대응하는 $C^*$-대수로 확장하고, 그로 인해 생기는 교차곱과 고정점 대수를 분석하는 것.
• 이산적이고 국소적으로 유한한 그래프 $E$에 대해 유한군 작용이 있을 경우, 교차곱 $C^*(E) \rtimes G$가 $C^*$-대응관계의 그래프와 동형이며, $K$-이론 계산이 가능하도록 하는 것.

제안 방법

• 위상적 그래프 $E$에 대응하는 $C^*$-대응관계 $\mathcal{H}_E$ 위에 군 작용을 정의하기 위해 $C_0(E^0)$와 $C_c(E^1)$ 위의 쌍대 작용을 이용하고, 이를 Cuntz-Pimsner 대수 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}_E} = C^*(E)$로 확장한다.
• 군 표현 $\rho: G \to \mathcal{L}_\mathbb{C}(\mathcal{H})$의 텐서 거듭제곱 $ \rho^n = \rho^{\otimes n} $에 대한 통합자 $ (\rho^m, \rho^n) $로 생성되는 $C^*$-대수로서 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_\rho$를 구성한다.
• $C^*$-대응관계의 보편 성질을 이용하여 군 작용을 $\mathcal{H}$에서 Cuntz-Pimsner 대수 $\mathcal{O}_\mathcal{H}$로 옮기며, $\mathbb{T}$의 게이지 작용과의 호환성을 확보한다.
• 이산적이고 국소적으로 유한한 그래프 $E$에 대해 유한군 $G$가 작용할 경우, $E^0$과 $E^1$의 궤도 공간 및 안정자 군의 특성함수를 사용하여 $C^*$-대응관계의 그래프를 구성하고, 교차곱 $C^*(E) \rtimes G$를 모델링한다.
• 교차곱 $C^*(E) \rtimes G$가 이 $C^*$-대응관계의 그래프 대수와 동형이며, 따라서 안정적으로 그래프 대수와 동형임을 증명한다.
• 군 작용이 게이지 작용과 가환함을 활용하여 $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G \cong (C^*(E) \rtimes G)^\mathbb{T}$임을 보이고, 핵심 부분에 대해 AF-대수의 구조를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 표현 $\rho$가 $C^*$-대응관계 $\mathcal{H}$ 위에 작용할 때, 고정점 대수 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$가 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_\rho$와 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유한군 작용이 그래프 $C^*$-대수 $C^*(E)$에 작용할 경우, 교차곱 $C^*(E) \rtimes G$는 $C^*$-대응관계의 그래프로 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ3 만약 $C^*(E)$가 단순하고 순수 무한하며 작용이 외부일 경우, $C^*(E)^G$와 $C^*(E) \rtimes G$의 $K$-이론은 어떻게 되는가?
• RQ4 군 $G$가 핵심 AF-대수 $C^*(E)^\mathbb{T}$ 위에 작용할 때, $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G$의 구조와의 관계는 어떠한가?
• RQ5 유한군 작용이 그래프에 대해 작용할 경우, Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_\rho$는 Cuntz-Krieger 대수의 전면 모서리로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 이산적이고 국소적으로 유한한 그래프 $E$에 대해 유한군 $G$가 작용할 경우, 교차곱 $C^*(E) \rtimes G$는 궤도 공간과 안정자 특성함수로부터 구성된 $C^*$-대응관계의 그래프와 동형이다.
• 교차곱 $C^*(E) \rtimes G$는 안정적으로 그래프 대수와 동형이며, 궤도 그래프의 인cidencematrix를 통해 $K$-이론 계산이 가능하다.
• $C^*(E)$가 단순하고 순수 무한이며 $G$-작용이 외부일 경우, $C^*(E)^G$와 $C^*(E) \rtimes G$는 모두 단순하고 순수 무한하며 동일한 $K$-이론 군을 가진다.
• 적절한 조건 하에서 고정점 대수 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$는 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_\rho$와 동형이며, 표현 이론적 구성의 $C^*$-대수적 실현을 제공한다.
• 핵심 AF-대수 $C^*(E)^\mathbb{T}$는 군 작용 하에 보존되며, $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G$는 교차곱의 핵심과 동형이 되어 AF-대수를 이룬다.
• $S_3$이 $\mathcal{O}_3$에 작용하거나 $D_4$가 교차 그래프에 작용하는 예시들에서, 고정점 및 교차곱 대수의 $K$-이론은 $\mathcal{O}_3$과 일치하며, $K_0$는 특정 인cidencematrix $B$에 대해 귀납極한 $\varinjlim(\mathbb{Z}^3, B)$로 주어진다.