[논문 리뷰] Group algebras and semigroup algebras defined by permutation relations of fixed length

Ferran Cedó, Eric Jespers외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 11.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 8인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고정된 길이 l ≥ 2인 순열 관계로 정의된 군 및 반군 대수를 연구한다. 여기서 관계들은 대칭군 Symn의 부분군 H에 의해 l개 생성자의 곱을 순열한다. 군 G의 보편 군이 유한 지수의 자유군을 갖는다는 것을 증명하며, 임의의 체 K에 대해 군 대수 K[G]는 야코브슨 근이 멱영이며, 특정 조건 하에 반군 대수 K[S] 역시 멱영 근을 갖는다. H가 아벨이면서 반정규일 경우, K[S]의 근은 멱영이며, 그 멱영 지수에 대한 상한과 특성 조건 하에서 근이 사라지는 조건이 있다.

ABSTRACT

Let $H$ be a subgroup of $ ext{Sym}_n$, the symmetric group of degree $n$. For a fixed integer $l \geq 2$, the group $G$ presented with generators $x_1, x_2, \ldots ,x_n$ and with relations $x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_l} =x_{\sigma (i_1)} x_{\sigma (i_2)} \cdots x_{\sigma (i_l)}$, where $\sigma$ runs through $H$, is considered. It is shown that $G$ has a free subgroup of finite index. For a field $K$, properties of the algebra $K[G]$ are derived. In particular, the Jacobson radical $\mathcal{J}(K[G])$ is always nilpotent, and in many cases the algebra $K[G]$ is semiprimitive. Results on the growth and the Gelfand-Kirillov dimension of $K[G]$ are given. Further properties of the semigroup $S$ and the semigroup algebra $K[S]$ with the same presentation are obtained, in case $S$ is cancellative. The Jacobson radical is nilpotent in this case as well, and sufficient conditions for the algebra to be semiprimitive are given.

연구 동기 및 목표

• 고정된 길이 l ≥ 2인 동차 순열 관계로 정의된 군 대수 K[G]와 반군 대수 K[S]의 구조를 분석하는 것.
• 야코브슨 근 J(K[G])와 J(K[S])가 멱영이 되는 조건을 규명하는 것.
• 특히 H ⊆ Symn과 체의 특성과 관련하여 K[G]와 K[S]가 반단순적(즉, J = 0)이 되는 조건을 설정하는 것.
• 특히 H가 추이적이거나 H가 아벨이면서 반정규일 경우, K[G]와 K[S]의 성장과 겔판트-키릴로프 차원을 계산하는 것.

제안 방법

• H 작용에 의한 궤도 분해를 바탕으로, 보편 군 G = Gn,l(H)가 유한 지수의 자유군을 갖는 것을 보이기 위해 군론적 기법을 사용한다.
• G의 정규 자유 부분군 M이 유한 지수일 때, K[G]와 K[S]에 대해 G/M-중수 구조를 적용한다.
• H가 아벨이면서 반정규일 경우, K[S]가 K[G]의 동차 부분환임을 이용하여 근 성질을 이전할 수 있다.
• 자기 반복적 부분모노이드가 자유 모노이드의 부분집합인 경우, 이를 순환군에 포함시킬 수 있음을 보여주는 보조정리 4.2를 활용하여, S의 부분모노이드 P에 대해 J(K[P])를 분석한다.
• 마쉬케 정리와 군 대수 이론을 활용하여, char(K) = 0 또는 char(K) ∤ |G/M|일 경우 J(K[Q]) = 0임을 보이며, J(K[S]) ≠ 0이면 모순이 발생함을 밝힌다.
• 차수 추론과 코너지 작용을 이용하여, 특정 부분모노이드가 그 분수군 내에서 아벨이자 중심적인 부분군을 생성함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H ⊆ Symn에 어떤 조건이 성립할 경우, 군 대수 K[G]의 야코브슨 근 J(K[G])가 멱영이 되는가?
• RQ2 특히 H의 추이성과 아벨성과 관련하여 군 대수 K[G]가 반단순적(즉, J(K[G]) = 0)이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 H가 추이적일 경우 K[G]의 겔판트-키릴로프 차원은 얼마이며, 이는 고전적 크룰 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 H가 아벨이면서 반정규일 경우, 반군 S = Sn,l(H)의 구조는 J(K[S])의 멱영성과 소멸성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 J(K[S])의 멱영 지수는 상한으로 유계가 되는가? 이 상한에서 G/M의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 부분군 H ≤ Symn에 대해 군 G = Gn,l(H)는 유한 지수의 자유군을 가지며, 그 자유군의 계수는 {1, ..., n}에 대한 H-궤도의 수와 같다.
• 야코브슨 근 J(K[G])는 항상 멱영이며, H가 추이적일 경우 K[G]는 Noetherian PI-대수로서 GKdim(K[G]) = 1 및 clKdim(K[G]) = 1을 갖는다.
• H가 아벨이면서 반정규일 경우, J(K[S])는 지수 최대 |G/M|² 이하로 멱영이다. 여기서 M은 G의 정규 자유 부분군으로 유한 지수를 갖는다.
• char(K) = 0 또는 char(K) = p이면서 p ∤ |G/M|일 경우, J(K[S]) = 0 및 J(K[G]) = 0이 되며, 이는 K[S]와 K[G]가 반단순적임을 의미한다.
• H가 추이적이지 않을 경우, 랭크 2의 자유군이 존재하므로 K[G]는 지수 성장을 보인다.
• 반군 S = Sn,l(H)는 H가 아벨이면서 반정규일 때에만 취소 가능하며, 이 경우 S는 G에 맵핑된다.