[논문 리뷰] Group approximation in Cayley topology and coarse geometry, Part I: Coarse embeddings of amenable groups

Masato Mimura, Hiroki Sako|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 카일리 그래프의 코arse 비연결 합집합에 대한 성질 A를 그 카일리 경계 군의 애매성에 따라 특성화한다. 표시된 군의 공간 위의 카일리 위상에 기반하여, 이러한 합집합이 성질 A를 가질 조건은 그 경계 내의 모든 집적점 군(즉, 카일리 경계에 속하는 군)이 모두 애매한 군이어야 한다는 것을 증명한다. 이를 통해 비균형적 성질을 가진 바나흐 공간으로의 코arse 임베딩 여부에 따라 다를 수 있는 구체적 예를 제시한다.

ABSTRACT

The objective of this series is to study metric geometric properties of (coarse) disjoint unions of amenable Cayley graphs. We employ the Cayley topology and observe connections between large scale structure of metric spaces and group properties of Cayley accumulation points. In this Part I, we prove that a disjoint union has property A of G. Yu if and only if all groups appearing as Cayley accumulation points in the space of marked groups are amenable. As an application, we construct two disjoint unions of finite special linear groups (and unimodular linear groups) with respect to two systems of generators that look similar such that one has property A and the other does not admit (fibred) coarse embeddings into any Banach space with non-trivial type (for instance, any uniformly convex Banach space).

연구 동기 및 목표

• 유한 카일리 그래프의 비연결 합집합의 코arse 기하학적 성질과 그 카일리 경계 군의 군론적 성질 사이의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 표시된 군의 공간 내 집적점의 애매성에 의해 이러한 합집합이 성질 A를 만족하는지의 조건을 특성화하기 위해.
• 유사한 국소적 기하학을 가지지만 다른 코arse 성질을 보이는 유한 특수선형군 및 유모듈라 군의 비연결 합집합에 대한 명시적 예를 구성하기 위해.
• 특히 비균형적 성질을 가진 바나흐 공간으로의 코arse 임베딩의 압축 함수를 분석하기 위해.
• 랭크 확장자로부터 유도되는 자연스러운 그래프 가닥이, 코arse 임베딩이 가능하더라도 여전히 열악한 압축 성질을 보이는지 보여주기 위해.

제안 방법

• k-표시된 군의 공간 위의 카일리 위상을 활용하여, 카일리 다이어그램에서 루트 거리 공집합의 일致성에 의해 유한 군의 수열 수렴을 분석한다.
• 표시된 군의 컴act 공간 내에서 k-표시된 군 수열의 집적점 집합을 카일리 경계로 정의한다.
• 애매한 군 공간의 균일한 애매성 및 위상적 성질을 이용하여, 비연결 합집합에서 성질 A를 특성화한다.
• 바나흐 스펙트럼 갭 및 (τ)-유형 상수에 관한 결과를 적용하여 코arse 임베딩의 압축 함수를 유계한다.
• 유사한 국소 기하학을 가지지만 다른 전반적 코arse 성질을 보이는 유한 군의 명시적 가닥(예: SL(n, F_p) 및 유모듈라 군)을 구성한다.
• 스펙트럼 갭의 감쇠 및 왜곡 추정치를 활용하여, 일부 압축 함수가 심지어 균일하게 볼록한 바나흐 공간으로의 코arse 임베딩에도 실현 가능하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 카일리 그래프의 코arse 비연결 합집합이 언제 성질 A를 가질 수 있는가?
• RQ2 표시된 군 수열의 카일리 경계에 대한 군론적 조건은 어떤 것이며, 이 조건이 비균형적 성질을 가진 바나흐 공간으로의 코arse 임베딩을 보장하거나 차단하는가?
• RQ3 유사한 국소 카일리 그래프 기하학을 가진 두 수열의 유한 군이, 비연결 합집합에서 극명하게 다른 코arse 기하학적 성질을 보일 수 있는가?
• RQ4 이러한 비연결 합집합의 바나흐 공간으로의 코arse 임베딩에 대한 최적의 압축 함수는 무엇이며, 이는 스펙트럼 갭 감쇠와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 랭크 확장자로부터 유도되는 자연스러운 그래프 가닥은 코arse 임베딩이 가능하더라도 여전히 열악한 압축 성질을 보이는가?

주요 결과

• 유한 카일리 그래프의 코arse 비연결 합집합이 성질 A를 가질 조건은, 그 합집합의 카일리 집적점(즉, 카일리 경계에 속하는) 군들이 모두 애매한 군이어야 한다는 것이다.
• 논문은 서로 다른 생성 체계를 가진 두 개의 유한 특수선형군 및 유모듈라 군의 비연결 합집합을 구성한다: 하나는 성질 A를 가지며, 다른 하나는 비균형적 성질을 가진 어떤 바나흐 공간으로도 (섬유화된) 코arse 임베딩을 갖지 못한다.
• 주어진 함수 ρ에 대해, ρ(r) ≍ (C′ log log r) ∨ 0 를 만족하는 어떤 C′ > 0 가 존재할 경우, 수열 (n_m) 이 존재하여, 비연결 합집합에서 코arse 임베딩 조건 (ρ, ω(r) = r) 가 만족되지 않음을 의미하며, 이는 열악한 압축을 암시한다.
• 구성된 예에서 스펙트럼 갭 감쇠 속도는 (τ)-유형 상수에 하한을 제공한다: 𝒦^(τ)(G̃_m, E) ≥ 1/10000 m³ ε_E,p 로서, 이는 압축 함수를 제어한다.
• 예는 명시적 또는 반명시적이다; 계수환 F_{p^{n_m}} 을 F_p[t]/(t^{n'_m} - t) 로 대체하면 동일한 코arse 기하학적 성질을 유지하는 완전히 명시적인 버전의 구성이 가능하다.
• 결과는 비균형적 성질을 가진 복소 바나흐 공간과 (1.1) 조건을 만족하고 β < 1/2 인 복소 바나흐 공간과 구면 등가인 모든 바나흐 공간으로까지 확장되며, 이는 모든 비균형적 성질을 가진 공간을 포함한다.