[논문 리뷰] Group C*-algebras as compact quantum metric spaces

Marc A. Rieffel|ArXiv.org|2002. 05. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 31인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 ℤ^d의 군 C*-대수에 대해 어在此에 길이 함수(단어 길이 또는 ℝ^d 위의 노름의 제한)를 부여할 때, Connes의 Dirac 연산자 구성법을 통해 컴팩트 양자 거리 공간을 정의함을 밝힌다. 코스피어 알제브라와 새로운 거리 공간의 컴팩트리피케이션 기법을 사용하여, 리프시츠 반노름이 상태 공간 위에 약한-* 위상과 일치함을 증명함으로써, 이러한 군들과 그 군의 변형(비가환 토러스 포함)에 대해 리프시츠 노름 조건을 확인한다.

ABSTRACT

Let $\ell$ be a length function on a group $G$, and let $M_{\ell}$ denote the operator of pointwise multiplication by $\ell$ on $\bell^2(G)$. Following Connes, $M_{\ell}$ can be used as a ``Dirac'' operator for $C_r^*(G)$. It defines a Lipschitz seminorm on $C_r^*(G)$, which defines a metric on the state space of $C_r^*(G)$. We investigate whether the topology from this metric coincides with the weak-* topology (our definition of a ``compact quantum metric space''). We give an affirmative answer for $G = {\mathbb Z}^d$ when $\ell$ is a word-length, or the restriction to ${\mathbb Z}^d$ of a norm on ${\mathbb R}^d$. This works for $C_r^*(G)$ twisted by a 2-cocycle, and thus for non-commutative tori. Our approach involves Connes' cosphere algebra, and an interesting compactification of metric spaces which is closely related to geodesic rays.

연구 동기 및 목표

• 군 C*-대수의 상태 공간에 대해 Connes의 Dirac 연산자로부터 유도된 길이 함수에 기반한 거리가 약한-* 위상과 일치하는지 확인하는 것.
• 2-코사이클 변형을 통해 비가환 토러스를 포함한 휘어진 군 C*-대수로 분석을 확장하는 것.
• 지오데식 레이저와 Busemann 점과 관련된 '거리 컴팩트리피케이션'이라 불리는 새로운 거리 공간의 컴팩트리피케이션 기법을 개발하고 적용하는 것.
• 단어 길이 또는 노름에 의해 유도된 길이 함수를 갖는 ℤ^d에 대해 리프시츠 노름 성질을 확립하여, 거리 위상과 약한-* 위상의 일致를 보장하는 것.
• 코스피어 알제브라의 구조와 그 군 C*-대수의 거리 구조를 특성화하는 데서의 역할을 탐색하는 것.

제안 방법

• ℓ²(G) 위에서 길이 함수 ℓ에 의한 곱셈 연산자 Mℓ와 πf의 교환자 [Mℓ, πf]를 사용하여, Cr*(G)의 밀도 있는 *-부분대수 Cc(G) 위에 리프시츠 반노름 Lℓ를 정의한다.
• ρL(μ,ν) = sup{|μ(a)−ν(a)| : a ∈ Cc(G), Lℓ(a) ≤ 1}를 통해 상태 공간 S(Cr*(G)) 위에 거리 ρL를 구성한다.
• 지오데식 레이저와 Busemann 점과 관련된 국소적으로 컴팩트한 거리 공간의 '거리 컴팩트리피케이션'을 도입하여, 경계 행동과 지오데식 레이저를 분석한다.
• G가 거리 컴팩트리피케이션과 그 경계 위에 작용하는 방식을 이용하여 유한 궤도와 애매성(amenability)을 연구하고, 이와 코스피어 알제브라와 연결한다.
• Stone–Weierstrass 정리를 적용하여, 거리 컴팩트리피케이션 위의 연속 함수 대수와 군 대수의 폐포가 일치함을 보여, 컴팩트리피케이션이 잘 정의되어 있음을 증명한다.
• 스펙트럴 트리플레 (Cr*(ℤ^d), ℓ²(ℤ^d), Mℓ)에 대해 코스피어 알제브라 Sℓ* A가 C*(ℤ^d, C(∂hG), α)와 동형임을 확인하고, 이를 통해 스펙트럴 트리플의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cr*(ℤ^d)의 상태 공간에 대해 Dirac 연산자로부터 길이 함수에 의해 유도된 거리가 약한-* 위상과 일치하는가?
• RQ2 비가환 토러스를 포함한 ℤ^d의 휘어진 군 C*-대수에 대해 리프시츠 노름 조건을 검증할 수 있는가?
• RQ3 거리 공간의 거리 컴팩트리피케이션은 지오데식 레이저와 Busemann 점과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 코스피어 알제브라는 군 C*-대수의 거리 구조를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 G의 거리 컴팩트리피케이션 경계 위 작용이 유한 궤도를 갖는 조건은 무엇이며, 이는 리프시츠 노름 성질의 검증을 가능하게 하는가?

주요 결과

• ℤ^d에 대해 단어 길이 함수 또는 ℝ^d 위의 노름의 제한을 갖는 경우, [Mℓ, πf]에 의해 정의된 반노름 Lℓ는 리프시츠 노름이므로, 상태 공간 위의 거리 위상은 약한-* 위상과 일致한다.
• 이러한 길이 함수를 갖는 ℤ^d의 거리 컴팩트리피케이션은 하이퍼볼릭 컴팩트리피케이션과 일치하며, 경계는 지오데식 레이저에 대응하는 Busemann 점들로 이루어져 있다.
• 스펙트럴 트리플 (Cr*(ℤ^d), ℓ²(ℤ^d), Mℓ)에 대해 코스피어 알제브라 Sℓ* A는 C*(ℤ^d, C(∂hℤ^d), α)와 동형이며, 경계 위의 작용은 애매하다.
• 이 구성은 임의의 2-코사이클 c에 대해 휘어진 군 C*-대수 Cr*(ℤ^d, c)로 확장되며, 비가환 토러스 포함하여 이 경우에도 리프시츠 노름 성질이 성립한다.
• 증명은 거리 컴팩트리피케이션 위의 연속 함수 대수 C(Ḡ^ℓ)가 C(Ḡ^h)와 일치함을 보여, 컴팩트리피케이션이 위상적으로 잘 정의되어 있고 경계가 충분히 점들을 분리할 수 있음을 시사한다.
• 자유군 F2의 경우 경계 작용에서 유한 궤도가 없기 때문에 이 방법은 실패하며, 자유군의 리프시츠 노름 성질은 여전히 열려있다.