[논문 리뷰] Group C*-algebras without the completely bounded approximation property

Uffe Haagerup|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 55

한 줄 요약

이 논문은 실수 계수가 2 이상인 유한 중심을 가진 단순 리군 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$가 승수 유계 근사 단위를 갖지 않음을 증명하며, 이러한 군에 속하는 임의의 격자 $\Gamma$의 축소 $C^*$-대수 $C^*_r(\Gamma)$가 완전 유계 근사 성질(CBAP)을 갖지 않음을 보인다. 이러한 결과는 이전의 계수 1 군에 대한 연구를 확장하며, 완전 유계 근사 성질이 고계수 단순 리군으로 일반화되지 않음을 보여주며, 연산자 대수학과 조화 해석학 분야에서 오랫동안 남아 있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

It is proved that: (1) The Fourier algebra A(G) of a simple Lie group G of real rank at least 2 with finite center does not have a multiplier bounded approximate unit. (2) The reduced C*-algebra of any lattice in a non-compact simple Lie group of real rank at least 2 with finite center does not have the completely bounded approximation property. Hence, the results obtained by J. de Canniere and the author for SO(n,1), n at least 2, and by M. Cowling for SU(n,1) do not generalize to simple Lie groups of real rank at least 2.

연구 동기 및 목표

• 실수 계수가 $\geq 2$이고 중심이 유한한 단순 리군 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$가 승수 유계 근사 단위를 갖는지 여부를 결정하는 것.
• 이러한 군에 속하는 격자 $\Gamma$의 축소 $C^*$-대수 $C^*_r(\Gamma)$가 완전 유계 근사 성질(CBAP)을 갖는지 조사하는 것.
• 이전에 $\operatorname{SO}_e(n,1)$ 및 $\operatorname{SU}(n,1)$에 대해 보인 CBAP 결과를 계수 1 군에 대해 확장하여 고계수 군으로 일반화하는 것.
• 연산 이론적 기법을 통해 푸리에 대수 위의 완전 유계 승수의 특성화를 수립하는 것.
• 고계수 단순 리군에 속하는 격자의 축소 군 $C^*$-대수에서 CBAP이 성립하는지 여부를 해결하는 것.

제안 방법

• 실수 계수 $\geq 2$이고 중심이 유한한 단순 리군의 칸다노프 성질 (T)과 국소 등장성 성질을 이용하여 문제를 $\operatorname{SL}(3,\mathbb{R})$ 및 $\operatorname{Sp}(2,\mathbb{R})$로 축소한다.
• 푸리에 대수 $A(G)$에서 승수 유계 근사 단위의 존재성과 격자 $\Gamma$에 대한 $C^*_r(\Gamma)$의 CBAP 사이의 등가성을, 군 바나흐-폰 노이만 대수와의 쌍대성에 의해 활용한다.
• Hil베르트 공간에 값을 갖는 함수 $\xi, \eta: G \to H$를 이용한 완전 유계 승수의 특성화를 사용하며, $\sup_x \|\xi(x)\|, \|\eta(x)\| < \infty$ 및 국소 가산성을 조건으로 한다.
• 연산자 $s \mapsto \sum_i b_i^* s a_i$를 통해 $B(L^2(G))$ 위에 완전 유계 사상 $\Phi$를 구성하며, 여기서 $a_i = m(\widehat{\xi}_i)$, $b_i = m(\widehat{\eta}_i)$이며, $\|\Phi\|_{CB} \leq k$임을 보인다.
• $\Phi(\lambda(x)) = \varphi(x)\lambda(x)$임을 이용하여 $\varphi \in M_0A(G)$ 이고 $\|\varphi\|_{M_0A} \leq k$임을 보이며, 승수 노름과 연산자 노름 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 푸리에 대수 $A(G)$와 군 바나흐-폰 노이만 대수 $\mathfrak{M}(G)$ 사이의 쌍대성에 기반하며, $A(G)$가 승수 유계 근사 단위를 갖는 것은 $\mathfrak{M}(G)$가 $\sigma$-약한 CBAP를 갖는 것과 동치임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 계수가 2 이상이고 중심이 유한한 단순 리군 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$는 승수 유계 근사 단위를 갖는가?
• RQ2 이러한 군에 속하는 격자 $\Gamma$의 축소 $C^*$-대수 $C^*_r(\Gamma)$는 완전 유계 근사 성질(CBAP)을 갖는가?
• RQ3 $\operatorname{SO}_e(n,1)$과 $\operatorname{SU}(n,1)$에 대해 de Cannière와 Haagerup가 얻은 결과는 고계수 단순 리군으로 일반화되는가?
• RQ4 국소 가산성과 균일 유계성 조건을 갖는 힐베르트 공간에 값을 갖는 함수 $\xi, \eta: G \to H$를 통해 $A(G)$ 위의 완전 유계 승수에 대한 특성화가 가능한가?
• RQ5 $A(G)$에서 승수 유계 근사 단위의 존재성과 격자 $\Gamma \subset G$에 대한 $C^*_r(\Gamma)$의 CBAP 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 실수 계수가 2 이상이고 중심이 유한한 단순 리군 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$는 승수 유계 근사 단위를 갖지 않는다.
• 이러한 군에 속하는 임의의 격자 $\Gamma$의 축소 $C^*_r(\Gamma)$는 완전 유계 근사 성질(CBAP)을 갖지 않는다.
• $\operatorname{SO}_e(n,1)$ 및 $\operatorname{SU}(n,1)$에 대한 결과는 고계수 단순 리군으로 일반화되지 않는다.
• $A(G)$에서 승수 유계 근사 단위의 존재성은 $G$에 속하는 격자 $\Gamma$에 대해 $C^*_r(\Gamma)$의 CBAP과 동치이며, 이는 고계수 군에서는 실패한다.
• 국소 가산성과 유계성 조건을 갖는 힐베르트 공간에 값을 갖는 함수 $\xi, \eta: G \to H$를 이용한 완전 유계 승수의 특성화가 이러한 근사 단위의 부재를 증명하는 데 사용된다.
• 유한 중심 조건은 승수 유계 근사 단위의 부재성에 필요하지 않으며, 후에 Dorofaeff에 의해 이는 확인되었지만, 원래 결과는 이 조건 하에 성립한다.