[논문 리뷰] Group homomorphisms as error correcting codes

Alan Guo|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Coding theory and cryptography인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 유한군 G에서 유한군 H로의 군 준동형사상으로 생성된 오류정정 부호의 최대 일致도(해밍 거리의 여부)에 대한 일반 공식을 수립한다. G가 가해군이거나 H가 노름군일 경우, 최대 일치도 ΛG,H는 |G|와 |H|의 소인수와 G의 정규부분군 구조에만 의존하며, H의 부분군 구조에는 영향을 받지 않는다. 핵심 결과는 G의 정규부분군의 최소 지수 중에서 |H|의 지수를 나누는 것에 대한 폐쇄형 공식이다.

ABSTRACT

We investigate the minimum distance of the error correcting code formed by the homomorphisms between two finite groups $G$ and $H$. We prove some general structural results on how the distance behaves with respect to natural group operations, such as passing to subgroups and quotients, and taking products. Our main result is a general formula for the distance when $G$ is solvable or $H$ is nilpotent, in terms of the normal subgroup structure of $G$ as well as the prime divisors of $|G|$ and $|H|$. In particular, we show that in the above case, the distance is independent of the subgroup structure of $H$. We complement this by showing that, in general, the distance depends on the subgroup structure $G$.

연구 동기 및 목표

• 유한군 G와 H 사이의 군 준동형사상으로 생성된 오류정정 부호의 최소 거리(최대 일치도를 통해)를 결정하는 것.
• 비아벨 군 준동형사상의 리스트 디코딩에 핵심적인 비트리버스한 기술적 과제인 이 거리의 계산을 해결하는 것.
• 코드의 거리가 G의 정규부분군 구조와 H와의 공통 소인수에만 의존하고 H의 부분군 세부 정보에는 영향을 받지 않는 구조적 조건을 규명하는 것.
• 아벨이 아닌 단순군인 A5와 같이, 거리가 G가 H에 어떻게 통합되는지에 따라 달라지며, 단지 |G|와 |H|의 소인수나 G의 정규부분군에만 의존하지 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 두 준동형사상 간의 일치도 agr(φ, ψ)를 정의하고, 이는 동일한 군 원소에서 일치하는 비율이며, 모든 서로 다른 쌍에 대한 최대 일치도 ΛG,H를 고려한다.
• 두 준동형사상의 등치자 Eq(φ, ψ)가 G의 정규부분군임을 증명하고, 군 동형정리들을 활용하여 등치자의 크기를 준동형사상의 핵에 연결한다.
• H가 p-군일 경우, 임의의 애핀 준동형사상 집합의 등치자 지수는 p의 거듭제곱임을 보이고, 이로부터 ΛG,H에 대한 상한 1/p를 이끌어낸다.
• 가해군과 노름군의 구조를 활용하여, PG,H( |G|와 |H|의 공통 소인수 집합)와 NG(G의 진정규부분군의 지수 집합)를 이용한 ΛG,H의 공식을 유도한다.
• G가 가해군이거나 H가 노름군일 경우, PG,H ∩ NG가 비어 있지 않다면 ΛG,H = 1 / min(PG,H ∩ NG), 그렇지 않으면 0임을 증명한다.
• 비아벨 단순군인 An의 경우를 분석하기 위해 자동사상과 고정점 집합을 연구하고, 버누시의 보조정리를 사용하여 최대 일치도를 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G가 가해군이거나 H가 노름군일 경우, G에서 H로의 모든 군 준동형사상으로 생성된 오류정정 부호의 최소 거리(최대 일치도)는 무엇인가?
• RQ2 최대 일치도 ΛG,H는 |G|와 |H|의 소인수와 G의 정규부분군 구조에만 의존하는가, 아니면 H의 부분군 세부 정보에도 영향을 받는가?
• RQ3 비아벨 단순군인 An에 대해 ΛG,H에 대한 일반 공식을 유도할 수 있으며, 이는 가해군의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ4 왜 가해군 G에 대한 공식이 비아벨 단순군에서는 성립하지 않는가? 이러한 경우에 H의 어떤 구조적 특성이 ΛG,H에 영향을 미치는가?
• RQ5 G가 H에 어떻게 통합되는가(예: 부분군으로서 또는 자동사상을 통해)가 최대 일치도 ΛG,H에 영향을 주는가?

주요 결과

• G가 가해군이거나 H가 노름군일 경우, G와 H가 공통 소인수를 갖지 않으면 최대 일치도 ΛG,H는 0이며, 그렇지 않으면 1 / min(PG,H ∩ NG)이다. 여기서 PG,H는 |G|와 |H|의 공통 소인수 집합이고, NG는 G의 진정규부분군의 지수 집합이다.
• G = A5이고 H = A5일 경우, 최대 일치도는 정확히 1/10이며, 이는 A4와 동형인 부분군에서 일치하는 두 개의 서로 다른 자동사상에 의해 달성된다.
• H = A6이고 G = A5일 경우, 최대 일치도는 1/5로 증가하여, ΛG,H가 |G|와 |H| 뿐 아니라 G가 H에 어떻게 통합되는지에 따라 달라짐을 보여준다.
• A5와 같은 비아벨 단순군에서의 반례를 통해, ΛG,H의 공식은 임의의 유한군으로 일반화되지 않음을 보였다.
• n ≥ 5인 교환군 An에 대해 최대 일치도는 2/(n(n−1)) ≤ ΛAn,An ≤ 1/n를 만족하며, n = 5일 경우 하한에 등호가 성립한다.
• 임의의 군 G와 p-군 H에 대해 최대 일치도는 1/p 이하로 유계이므로, 코드의 거리가 군의 p-군 구조에 의해 제한됨을 보여준다.