[논문 리뷰] Group structures of a function spaces with the set-open topology

Alexander V. Osipov|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 21.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Tychonoff 공간 $ X $ 에서 $ \mathbb{R}^\alpha $ 로의 연속 함수들의 공간 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 가 $ \lambda $-열린 위상으로 장비되었을 때, 이 공간이 준위상군, 반위상군, 위상군 또는 위상선형공간이 되는 조건을 조사한다. 핵심 결과는 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 가 위상선형공간(따라서 위상군)이 되기 위한 필요충분조건이 $ \lambda $ 가 $ C_\alpha $-콤팩트 집합들의 가족이면서 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ 를 만족해야 한다는 것이다. 중요한 예시는 $ \alpha = \omega_1 $ 일 때 이 조건이 성립하지 않아 실패함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we find at the properties of the family lambda which imply that the function space C(X,R^alpha) with the lambda-open topology is a semitopological group (paratopological group, topological group, topological vector space and other algebraic structures) under the usual operations of addition and multiplication (and multiplication by scalars).

연구 동기 및 목표

• Tychonoff 공간 $ X $ 의 부분집합들로 이루어진 가족 $ \lambda $ 에 대해, $ \lambda $-열린 위상이 부여된 함수공간 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 가 위상군 또는 선형공간의 구조를 갖는 조건을 규명하는 것.
• 이전의 실수값 함수공간 결과를 $ C_\alpha $-콤팩트성 개념을 사용하여 $ \mathbb{R}^\alpha $-값 함수로 일반화하는 것.
• 구조적 성질인 기능적 보완과 포화성 가족, 그리고 $ \lambda(C_\alpha) $, $ \lambda_m $ 의 역할이 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 의 대수적-위상적 성질을 결정하는 데 어떻게 기여하는지 명확히 하는 것.
• 예를 들어, $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\omega) $ 는 위상선형공간이지만 $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ 는 준위상군조차 되지 않음을 통해 날카로운 이분법을 제시하는 것.

제안 방법

• 함수 $ f: X \to \mathbb{R}^\alpha $ 가 연속일 때 $ f(A) $ 가 $ \mathbb{R}^\alpha $ 에서 콤팩트가 되는 모든 부분집합 $ A \subseteq X $ 를 $ C_\alpha $-콤팩트로 정의한다.
• $ \lambda(C_\alpha) $ 는 모든 $ C_\alpha $-콤팩트 부분집합 $ B \subset A $ 와 열린 집합 $ U \subseteq \mathbb{R}^\alpha $ 에 대해 $ [B,U] $ 가 $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 에서 열린 집합이 되는 $ \lambda $ 의 원소 $ A $ 들의 집합으로 정의한다.
• $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) = C_{\lambda_m}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 를 만족하는 최대 가족 $ \lambda_m $ 를 도입하고, 이 가족이 위상의 구조를 결정함을 보인다.
• 기능적 보완과 포화 가족의 개념을 적용하여 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 가 연속적인 군 연산을 갖는 조건을 특성화한다.
• $ \lambda $ 에서의 균일 수렴의 균일화 $ \mathcal{U}|\lambda $ 를 사용하여 $ \lambda $-열린 위상과 균일 구조 사이의 관계를 규명한다.
• $ \lambda $ 가 $ C_\alpha $-콤팩트 집합들로 이루어져 있을 때, 위상군 성질과 조건 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ 가 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수공간 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 가 점별 덧셈과 스칼라 곱으로 인한 위상군이 되기 위한 $ X $ 의 부분집합들로 이루어진 가족 $ \lambda $ 의 조건은 무엇인가?
• RQ2 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 에서의 $ \lambda $-열린 위상이 이 공간이 위상선형공간 또는 위상대수학적 구조를 갖도록 하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $ \lambda(C_\alpha) $ 는 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 가 준위상군 또는 반위상군이 되는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $ X = [0,\omega_1) $ 와 같은 $ X $ 의 성질이 다양한 $ \alpha $ 에 대해 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 의 군 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\omega) $ 는 위상선형공간이지만 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ 는 준위상군조차 되지 않는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 공간 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 가 위상선형공간(따라서 위상군)이 되기 위한 필요충분조건은 $ \lambda $ 가 $ C_\alpha $-콤팩트 집합들의 가족이면서 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ 를 만족해야 한다는 것이다.
• 특히 $ X = [0,\omega_1) $ 일 때, $ \lambda $ 가 $ C $-콤팩트 부분집합들로 이루어져 있으면 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\omega) $ 는 준위상군이며, 국소볼록 위상선형공간이자 위상대수학이 된다.
• 반면 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ 는 준위상군조차 되지 않아 $ \alpha = \omega_1 $ 에서의 날카로운 전환점이 드러난다.
• $ \lambda_m $ 는 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) = C_{\lambda_m}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 를 만족하며, 이 가족이 $ \pi $-네트워크이자 포화 가족이어야만 공간이 하우스도르프이면서 군 구조를 갖는다.
• $ \lambda $ 가 $ C_\alpha $-콤팩트 집합들로 이루어져 있고, 그 부분집합들에 대해 $ C_\alpha $-콤팩트성을 유지할 때에만 위상군 성질과 조건 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ 가 동치가 된다.
• $ \alpha $ 가 비가산 코finality를 가질 경우, $ X = [0,\alpha) $ 는 $ \gamma < \text{cf}(\alpha) $ 에 대해 $ \gamma $-준콤팩트이지만 $ \text{cf}(\alpha) $-준콤팩트는 아니며, 이는 $ \mathbb{R}^{\text{cf}(\alpha)} $-값 함수에 대해 군 구조가 실패하는 이유를 설명한다.