[논문 리뷰] Group topologies coarser than the Isbell topology

Szymon Dolecki, Francis Jordan외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 16.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속 실수값 함수의 공간 $C(X,\mathbb{R})$ 위의 이스벨 위상보다 더 가늘은 군 위상을 특성화한다. 측도 이론적 방법을 사용하여 $C(X,\mathbb{R})$ 위에 벡터 공간 위상 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 를 정규화된 방법으로 구성하며, $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 가 위상 벡터 공간이 되는 것은 $X$ 가 인프라코소너시일 때에 한하여 성립함을 보인다. 주요 기여는 $X$ 가 프리-레드론이 아닐 경우에, 컴팩트-오픈 위상보다 엄밀히 더 빠른 분할 군 위상의 첫 번째 알려진 예를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

The Isbell, compact-open and point-open topologies on the set $C(X,\mathbb{R})$ of continuous real-valued maps can be represented as the dual topologies with respect to some collections $α(X)$ of compact families of open subsets of a topological space $X$. Those $α(X)$ for which addition is jointly continuous at the zero function in $C_α(X,\mathbb{R})$ are characterized, and sufficient conditions for translations to be continuous are found. As a result, collections $α(X)$ for which $C_α(X,\mathbb{R})$ is a topological vector space are defined canonically. The Isbell topology coincides with this vector space topology if and only if $X$ is infraconsonant. Examples based on measure theoretic methods, that $C_α(X,\mathbb{R})$ can be strictly finer than the compact-open topology, are given. To our knowledge, this is the first example of a splitting group topology strictly finer than the compact-open topology.

연구 동기 및 목표

• 이스벨 위상 $C(X,\mathbb{R})$ 가 위상군 또는 위상 벡터 공간이 되는 조건을 특성화하는 것.
• $C_{\alpha}(X,\mathbb{R})$ 가 이스벨 위상보다 더 가는 군 위상을 갖는 조건을 규명하는 것.
• $C(X,\mathbb{R})$ 위에 컴팩트-오픈 위상보다 엄밀히 더 빠른 위상 벡터 공간 위상 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 를 정규화된 방법으로 구성하는 것.
• 컴팩트-오픈 위상보다 엄밀히 더 빠른 분할 군 위상의 첫 번째 예를 측도 이론적 구성 방법을 통해 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 $C(X,\mathbb{R})$ 위의 쌍대 위상을 생성하기 위해, $X$ 의 열린 부분집합들의 컴팩트이고 열린 방향성 있는 가중치 집합의 집합 $\alpha(X)$ 를 정의하며, 부분기본 열린 집합 $[\mathcal{A}, U] = \{f \in C(X,\mathbb{R}) : f^{-1}(U) \in \mathcal{A}\}$ 를 사용한다.
• 논문은 $C_{\alpha}(X,\mathbb{R})$ 에서 덧셈이 0에서 함께 연속이 되는 데에 필요한 최대의 유전적 성질을 가진 $\kappa(X)$ 의 컴팩트 가중치 집합의 집합인 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 를 도입한다.
• $X$ 위의 $\tau$-가환 유한 측도 $\mu$ 를 사용하여, $\mathcal{M}_r^\mu = \{O \in \mathcal{O}_X : \mu(O) > r\}$ 의 가중치 집합을 구성하며, 이들이 스스로 분할 가능하고 유전적으로 스스로 결합 가능하다는 것을 보인다.
• 만약 $X$ 가 프리-레드론이 아니면, $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 가 $k(X)$ 를 엄밀히 포함함을 증명하여, $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 가 $C_k(X,\mathbb{R})$ 보다 엄밀히 더 빠른 위상임을 보이고, 이 위상이 위상 벡터 공간임을 보인다.
• 논문은 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 가 위상 벡터 공간이 되는 것은 $X$ 가 인프라코소너시일 때에 한하여 성립함을 증명한다.
• 분할 위상과 연속 수렴의 동치성을 사용하여, $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 가 분할이고, 프리-레드론이 아닌 공간에서는 컴팩트-오픈 위상보다 엄밀히 더 빠르다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $C(X,\mathbb{R})$ 에서 이스벨 위상은 위상군이 되는가?
• RQ2 컴팩트-오픈 위상보다 엄밀히 더 빠르면서도 여전히 분할 가능한 군 위상이 $C(X,\mathbb{R})$ 에 존재할 수 있는가?
• RQ3 이스벨 위상보다 더 가는 위상 벡터 공간 위상의 정규화된 구성 방법이 존재하는가? 이는 덧셈의 함께 연속성을 보장한다.
• RQ4 만약 $X$ 에서 레드론이 아닌 $\tau$-가환 측도가 존재한다면, 이는 $C(X,\mathbb{R})$ 에 엄밀히 더 빠른 군 위상의 존재를 암시하는가?
• RQ5 완전히 정규화된 설정에서 인프라코소너시 공간과 코소너시 공간이 일치하는가?

주요 결과

• 이스벨 위상 $\kappa(X,\mathbb{R})$ 는 $X$ 가 인프라코소너시일 때에만 위상 벡터 공간이 된다.
• $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 는 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 가 위상 벡터 공간이 되는 데에 필요한 최대의 유전적 가중치 집합이다.
• 모든 완전히 정규화된 공간 $X$ 가 프리-레드론이 아닐 경우, $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 는 컴팩트-오픈 위상 $C_k(X,\mathbb{R})$ 보다 엄밀히 더 빠르며, 위상 벡터 공간이다.
• $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 위상은 분할이고 컴팩트-오픈 위상보다 엄밀히 더 빠르며, 이러한 위상의 첫 번째 알려진 예를 제공한다.
• 만약 $X$ 가 하우스도르프이면서 프리-레드론이 아니면, $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 는 $k(X)$ 를 엄밀히 포함하므로 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R}) > C_k(X,\mathbb{R})$ 가 된다.
• 프리-레드론이 아닌 소르겐프라이의 직선은 컴팩트-오픈 위상보다 엄밀히 더 빠른 군 위상 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 를 갖는다.