[논문 리뷰] Groupoid cocycles and K-theory

Bram Mesland|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 하우스도르프 군oids $ \mathcal{G} $와 Haar 체계를 갖는 실수 계수의 1-코호몰로지 쐐기 함수를 사용하여 군oids C*-대수 $ C^*(\mathcal{G}) $에 대해 기묘하고 등변적인 유계가 아닌 KK-사이클을 구성한다. 약간의 조건 하에 — 특히 에탈레 군oids에서 정수 계수의 코호몰로지 쐐기 함수일 경우 자동으로 만족됨 — 코호몰로지 쐐기 함수가 측도에 의해 유도될 경우, $ K_1(C^*(\mathcal{G})) $에서 $ \mathbb{C} $로의 인덱스 맵을 유도하는 이중모듈러를 제공하며, 이는 비가환 기하학과 연산자 대수학에 대한 K-이론적 도구를 제공한다.

ABSTRACT

Let $c:\mathcal{G} o\R$ be a cocycle on a locally compact Hausdorff groupoid $\mathcal{G}$ with Haar system. Under some mild conditions (satisfied by all integer valued cocycles on étale groupoids), $c$ gives rise to an unbounded odd $\R$-equivariant bimodule $(\mathpzc{E},D)$ for the pair of $C^{*}$-algebras $(C^{*}(\mathcal{G}),C^{*}(\mathcal{H}))$. If the cocycle comes from a continuous quasi-invariant measure on the unit space $\mathcal{G}^{(0)}$, the corresponding element in $KK_{1}^{\R}(C^{*}(\mathcal{G}),C^{*}(\mathcal{H}))$ gives rise to an index map $K_{1}^{\R}(C^{*}(\mathcal{G})) o \C$.

연구 동기 및 목표

• 군oids $ \mathcal{G} $에서 실수 계수의 1-코호몰로지 쐐기 함수 $ c $를 사용하여 $ C^*(\mathcal{G}) $와 $ C^*(\mathcal{H}) $에 대해 기묘하고 등변적인 유-bound하지 않은 KK-사이클을 구성한다. 여기서 $ \mathcal{H} = \ker c $이다.
• 이러한 코호몰로지 쐐기 함수가 $ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $-위에서 잘 정의된 유-bound한 정규 연산자 $ D $를 유도하는 조건을 확립한다.
• 코호몰로지 쐐기 함수 $ c $가 $ \mathcal{G}^{(0)} $ 위의 연속적인 쌍대불변 측도에서 유도될 경우, 해당 KK-클래스가 $ C^*(\mathcal{H}) $ 위의 추적과의 카스파로프 곱을 통해 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $로의 자연스러운 인덱스 맵을 유도함을 보여준다.
• 이전의 원형 작용에 관한 연구에서 요구된 기술적 조건들이 코호몰로지 함수에서 유도되는 작용일 경우 자동으로 만족됨을 보여, KK-이론에서의 접근법을 통합한다.
• 비가환 토러스를 포함한 중요한 예시들에 대해 스펙트럴 트리플렛과 KK-사이클의 체계적인 구성 방법을 제공한다. 특히 비가환 토러스를 원형 위의 피브레이션으로서 표현한다.

제안 방법

• 군oids $ \mathcal{G} $에서의 1-파라미터 자동형사상 군의 생성자에 의해 유도되는 $ c $를 사용하여, $ C_c(\mathcal{G}) $의 $ C_c(\mathcal{H}) $-위의 $ C^* $-모듈러 완비화 위에 유-bound한 정규 연산자 $ D $를 구성한다. 여기서 $ \mathcal{H} = \ker c $이다.
• 유-bound한 이중모듈러 $ (\mathpzc{E}, D) $를 $ C_c(\mathcal{G}) $의 완비화로 정의한다. 여기서 $ \mathpzc{E} $는 $ C^*(\mathcal{H}) $-위의 $ C^* $-모듈러이며, $ D $는 군oids의 섬유 위에서 코호몰로지 값에 의한 곱셈으로 작용한다.
• 쿠체로브스키의 정리를 사용하여, $ (\mathpzc{E}, D) $와 $ C(S^1) $ 위의 스펙트럴 트리플렛의 카스파로프 곱이 유효한 짝수 KK-사이클을 유도함을 검증한다. 이는 곱이 잘 정의됨을 보장한다.
• 코호몰로지 함수 $ c $가 쌍대불변 측도에서 유도될 경우 $ C^*(\mathcal{H}) $ 위에 자연스러운 추적 $ \tau $가 존재하므로, 카스파로프 곱과 $ \tau_* $를 조합하여 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $로의 맵을 얻는다.
• 비가환 토러스에 대해 이 구성 방법을 적용하기 위해, 비가환 토러스를 $ S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z} $로 표현하고 코호몰로지 함수 $ c $를 각도 $ \theta $로 주어진다.
• 형식적인 보트 주기성에 의해, 결과로 얻어진 $ K^0 $-클래스가 $ K_1(C^*(S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z})) $와 관련됨을 보여주며, 이 클래스가 코호몰로지 사이클과 원형의 스펙트럴 트리플렛의 카스파로프 곱임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 계수의 군oids 코호몰로지 쐐기 함수 $ c: \mathcal{G} \to \mathbb{R} $는 어떻게 $ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $에 대해 기묘하고 $ \mathbb{R} $-등변적인 유-bound하지 않은 KK-사이클을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 이러한 코호몰로지 쐐기 함수가 $ C^* $-모듈러 의미에서 컴팩트 해석을 갖는 잘 정의된 유-bound한 정규 연산자 $ D $를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 결과로 얻어진 KK-클래스 $ [(\mathpzc{E}, D)] \in KK_1(C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $가 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $로의 비자명한 인덱스 맵을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 구성 방법은 이전의 원형 작용에 관한 KK-이론 연구와 어떻게 관련이 있는가? 특히 기술적 가정 측면에서 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 이 틀은 비가환 토러스를 군oids 코호몰로지 함수를 통해 원형 위의 피브레이션으로 표현하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 군oids $ \mathcal{G} $와 Haar 체계를 갖는 임의의 연속적인 1-코호몰로지 쐐기 함수 $ c: \mathcal{G} \to \mathbb{R} $에 대해, 약간의 조건 하에, $ \mathcal{H} = \ker c $일 때, $ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 위에 기묘하고 $ \mathbb{R} $-등변적인 유-bound하지 않은 이중모듈러 $ (\mathpzc{E}, D) $가 구성된다.
• 코호몰로지 쐐기 함수 $ c $가 $ \mathcal{G}^{(0)} $ 위의 연속적인 쌍대불변 측도에서 유도될 경우, 해당 클래스 $ [(\mathpzc{E}, D)] \in KK_1(C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $는 $ C^*(\mathcal{H}) $ 위의 추적과의 카스파로프 곱을 통해 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $로의 자연스러운 인덱스 맵을 유도한다.
• 에탈레 군oids에서 정수 계수의 코호몰로지 쐐기 함수일 경우, 필요한 기술적 조건들이 자동으로 만족되므로, 이 구성은 모든 쿤츠-크라이거 대수와 $ \mathbb{Z} $에 의한 와핑 프로덕트에 적용 가능하다.
• 비가환 토러스 $ C^*(S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z}) $는 원형 위의 피브레이션으로 나타나며, $ C(S^1) $ 위의 스펙트럴 트리플렛과 코호몰로지에 의해 유도된 이중모듈러가 카스파로프 곱을 형성하여 토러스의 $ K^0 $-클래스를 표현한다.
• 논문 [4]에서 제시된 원형 작용에 대한 기술적 조건이 코호몰로지 함수에서 유도되는 작용일 경우 자동으로 만족됨을 보여, 그 연구의 구성과 현재의 틀을 통합한다.
• 이 구성은 쿠체로브스키의 정리와 호환되며, 이중모듈러와 스펙트럴 트리플렛의 텐서곱이 유효한 짝수 KK-사이클을 유도함을 보장한다. 결과로 얻어진 클래스는 원래 사이클들의 카스파로프 곱이다.