[논문 리뷰] Groupoid exactness and the weak containment problem

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Fuzzy and Soft Set Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 내부 약한 아벨성을 갖는 에탈레 군oids에 대해 여섯 가지 정확성 개념—무한대에서의 강한 아벨성, 무한대에서의 아벨성, 균일 로 에이지 대수의 핵심성, 그리고 다양한 C*-대수의 정확성—의 동치성을 확립한다. 이는 고전적인 이산 군 결과를 군oids 설정으로 확장한 것으로, 섬세한 섬세한 콪팩티피케이션과 C*-대수 기법을 통해 약한 포함 문제의 핵심 측면을 해결한다.

ABSTRACT

Our purpose is to study in the setting of locally compact groupoids the analogues of the well-known equivalent definitions of exactness for discrete groups. Our best results are obtained for a class of étale groupoids that we call inner amenable. For locally compact groups this notion coincides with a classical notion of inner amenability. We give examples of such groupoids. Whether all étale groupoids have this property is still unknown. For inner amenable étale groupoids we extend what is known for discrete groups in proving the equivalence of six natural notions of exactness: (1) strong amenability at infinity; (2) amenability at infinity; (3) nuclearity of the uniform algebra of the groupoid; (4) exactness of this C^*-algebra; (5) exactness of the groupoid in the sense of Kirchberg-Wassermann; (6) exactness of the reduced C^*-algebra of the groupoid. We give several illustrations of these results. One of our motivations for this study of exactness is that it plays a crucial role in examining the relationships between the amenability of a groupoid and the fact that its full and reduced C^*-algebras coincide. This is highlighted in the review we give of the results obtained by several authors on this subject. We end our monograph with open questions and an appendix on fibrewise compactifications whose study is needed because our work requires to extend from discrete groups to any étale groupoid G the notion of Stone-Cech compactification on which G acts.

연구 동기 및 목표

• 이산 군에서의 정확성 이론을 국소적으로 컴act한 에탈레 군oids로 확장하기.
• 군oids 설정에서의 무한대에서의 아벨성, 정확성, 약한 포함 성질 간의 관계를 명확히 하기.
• 내부 약한 아벨성 에탈레 군oids에 대해 여섯 가지 자연스러운 정확성 개념의 동치성을 확립하기.
• 군oids 작용으로 일반화된 스톤-체하프 콱팩티피케이션을 위한 프레임워크를 제공하기.
• 군oids에 대한 정확성과 무한대에서의 아벨성 간의 함의 관계에 대한 열린 질문을 해결하기.

제안 방법

• 이산 군의 내부 아벨성 개념을 일반화하여 국소적으로 컴 pact한 군oids의 내부 아벨성 개념을 도입한다.
• 군oids 작용에 대한 섬세한 스톤-체하프 콱팩티피케이션을 구성하며, 군oids 작용과의 호환성을 확보한다.
• 섬세한 콱팩티피케이션 섬유 공간 위에서의 아벨 작용을 통해 군oids의 무한대에서의 아벨성을 정의하고 분석한다.
• 내부 약한 아벨성 에탈레 군oids에 대해 균일 로 에이지 C*-대수의 핵심성과 축소 C*-대수의 정확성 간의 동치성을 확립한다.
• 크로스곱과 커널의 양성 등 C*-대수 이론 기법을 적용하여 정확성과 아벨성 간의 함의 관계를 증명한다.
• 섬세한 콱팩티피케이션을 사용하여 군oids 작용이 그 스톤-체하프 콱팩티피케이션에 작용하는 개념을 군oids 설정으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에탈레 군oids에 대해 여섯 가지 정확성 개념—무한대에서의 강한 아벨성, 무한대에서의 아벨성, 균일 로 에이지 대수의 핵심성, 그리고 전체, 축소, 키르히버그-와서만 C*-대수의 정확성—이 동치인가?
• RQ2 이산 군의 핵심 성질을 유지하는 방식으로 내부 아벨성 개념을 국소적으로 컴 pact한 군oids로 확장할 수 있는가?
• RQ3 내부 약한 아벨성 에탈레 군oids의 정확성이 무한대에서의 아벨성을 함의하는가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서인가?
• RQ4 군oids 작용의 섬세한 스톤-체하프 콱팩티피케이션은 콱팩티피케이션 공간 위에서의 작용의 아벨성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 약한 포함 성질은 군oids의 정확성과 아벨성을 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 내부 약한 아벨성 에탈레 군oids에 대해 여섯 가지 정확성 개념—무한대에서의 강한 아벨성, 무한대에서의 아벨성, 균일 로 에이지 대수의 핵심성, 그리고 전체, 축소, 키르히버그-와서만 C*-대수의 정확성—이 상호 동치임을 보였다.
• 논문은 군oids가 그 섬세한 스톤-체하프 콱팩티피케이션에 자연스럽게 작용하는 방법을 구성하였으며, 이는 이산 군이 그 스톤-체하프 콱팩티피케이션에 작용하는 것을 일반화한 것이다.
• 만약 군oids가 연속적인 섹션을 갖는 섬세한 콱팩티피케이션 섬유 공간 위에서 아벨 작용을 한다면, 그 군oids는 무한대에서 강하게 아벨성이 있음을 보였다.
• 논문은 전이 군oids 등, 이산 군의 작용이 국소적으로 컴 pact한 공간 위에 작용하는 경우를 포함한 내부 약한 아벨성 에탈레 군oids의 예를 제시하였다.
• 내부 약한 아벨성 에탈레 군oids에 대해 정확성이 무한대에서의 아벨성을 함의함을 증명하였으며, 이는 약한 포함 문제의 핵심 케이스를 해결한 것이다.
• 부록에서, 범위 사상이 열려 있지 않은 경우에도 에탈레 섬유 공간의 섬세한 스톤-체하프 콱팩티피케이션이 잘 정의되고 군oids 작용과 호환됨을 증명하였다.