[논문 리뷰] Groupoid Models of $C^*$-algebras and Gelfand Duality

Kyle Austin, Atish Mitra|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 군oids를 이용한 $C^*$-대수의 모델링을 위한 함자적 프레임워크를 제안하며, 부분 사상이 있는 군oids의 범주에서 $C^*$-대수로 가는 반대함자 $\Gamma_{\text{max}}$와 $\Gamma_{\text{min}}$를 구축한다. 이는 고전적 Gelfand 쌍대성을 확장하여 이러한 함자들이 유한한 합과 역극한을 보존한다는 것을 보이며, 분류 이론에 의존하지 않고 Jiang-Su 대수 $\mathcal{Z}$와 Razak-Jacelon 대수 $\mathcal{W}$에 대한 명시적인 군oids 모델을 구성한다.

ABSTRACT

We construct a large class of morphisms, which we call partial morphisms, of groupoids that induce $*$-morphisms of maximal and minimal groupoid $C^*$-algebras. We show that the association of a groupoid to its maximal (minimal) groupoid $C^*$-algebra and the association of a partial morphism to its induced morphism are functors (both of which extend the Gelfand functor). We show how to geometrically visualize lots of $*$-morphisms between groupoid $C^*$-algebras. As an application, we construct a groupoid models of the entire inductive systems of the Jiang-Su algebra $\mathcal{Z}$ and the Razak-Jacelon algebra $\mathcal{W}$.

연구 동기 및 목표

• 군oids를 통한 $C^*$-대수의 체계적이고 함자적인 접근법을 개발하여 고전적 Gelfand 쌍대성을 확장한다.
• 최대 및 최소 군oids $C^*$-대수에서의 $*$-사상들을 유도하는 부분 사상의 군oids를 정의하고 연구한다.
• $\Gamma_{\text{max}}$와 $\Gamma_{\text{min}}$가 유한한 합을 보존하고, 역극한을 직접극한으로 매핑하는 함자임을 보인다.
• 부분 사상들을 통한 군oids $C^*$-대수 간의 $*$-사상의 기하학적 시각화를 제공한다.
• 분류 이론에 의존하지 않고 Jiang-Su 대수 $\mathcal{Z}$와 Razak-Jacelon 대수 $\mathcal{W}$에 대한 명시적인 군oids 모델을 역계열의 군oids를 이용해 구성한다.

제안 방법

• 지그재그 군oids와 Haar 체계를 갖춘 국소적으로 컴act한 군oids의 범주 $\mathcal{G}$를 도입하며, Haar 체계를 보존하는 부분 사상으로 정의된 사상들을 포함한다.
• $\mathcal{G}$에서 $C^*$-대수의 범주로 가는 두 개의 반대함자 $\Gamma_{\text{max}}$와 $\Gamma_{\text{min}}$를 정의한다. 이들은 $*$-사상들을 포함한다.
• $\Gamma_{\text{max}}$와 $\Gamma_{\text{min}}$가 고전적 Gelfand 쌍대성 함자를 확장하고, 국소적으로 컴 pact한 하우스도르프 공간의 범주와 부분 적절한 연속 사상들을 포함하는 범주와, 가환 $C^*$-대수의 범주 사이에서 동치임을 증명한다.
• 이 함자들을 적용하여, $\Gamma_{\text{min}}$ 또는 $\Gamma_{\text{max}}$에 의한 이미지가 원래 $\mathcal{Z}$와 $\mathcal{W}$의 구성에서 사용된 귀납계열을 재현하는 군oids의 역계열을 구성한다.
• 이 군oids 계열의 역극한을 이용하여 $\mathcal{Z}$와 $\mathcal{W}$에 대한 군oids 모델을 생성하며, 결과적으로 얻어진 $C^*$-대수가 목표 대수와 동형임을 보인다.
• 2-코호몰로지로 정의된 왜곡된 군oids $C^*$-대수를 포함하도록 프레임워크를 일반화하여 더 넓은 범위의 $C^*$-대수에 적용 가능성을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군oids를 이용한 $C^*$-대수의 모델링을 위한 함자적이고 기하학적인 프레임워크를 Gelfand 쌍대성의 확장으로 개발할 수 있는가?
• RQ2 군oids의 부분 사상은 그들의 최대 및 최소 $C^*$-대수에서 어떻게 $*$-사상으로 유도되는가?
• RQ3 분류 이론에 의존하지 않고 군oids 시스템의 역극한이 $\mathcal{Z}$와 $\mathcal{W}$의 구성에서 사용된 귀납계열을 모델링할 수 있는가?
• RQ4 $\Gamma_{\text{max}}$와 $\Gamma_{\text{min}}$ 함자들이 유한한 합과 역극한과 같은 범주적 구조를 어느 정도 보존하는가?
• RQ5 Jiang-Su 대수 $\mathcal{Z}$와 Razak-Jacelon 대수 $\mathcal{W}$는 이 프레임워크를 통해 군oids $C^*$-대수로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• $\Gamma_{\text{max}}$와 $\Gamma_{\text{min}}$가 부분 사상이 있는 군oids의 범주에서 $*$-사상들을 포함하는 $C^*$-대수의 범주로 가는 반대함자임이 입증된다.
• 두 함자 모두 유한한 합을 보존하며, 군oids 범주에서의 역극한을 $C^*$-대수 범주에서의 직접극한으로 매핑한다.
• $\Gamma_{\text{max}}$와 $\Gamma_{\text{min}}$ 함자들이 고전적 Gelfand 쌍대성을 확장하며, 전사적이고 본질적으로 전사적이므로 국소적으로 컴 pact한 하우스도르프 공간과 부분 적절한 연속 사상들을 포함하는 범주와 가환 $C^*$-대수의 범주 사이의 동치를 확립한다.
• 역극한을 취할 때 $\Gamma_{\text{min}}$ 또는 $\Gamma_{\text{max}}$에 의한 이미지가 원래 Jiang-Su 대수 $\mathcal{Z}$의 구성에서 사용된 귀납계열을 재현하는 군oids의 역계열이 구성된다.
• 비슷하게 Razak-Jacelon 대수 $\mathcal{W}$에 대해서도 군oids의 역계열이 구성되며, 이 군oids 계열의 역극한은 $\mathcal{W}$에 대한 군oids 모델을 제공한다.
• 역극한으로부터 얻어진 $C^*$-대수들은 각각 $\mathcal{Z}$와 $\mathcal{W}$와 동형이며, 분류 이론을 사용하지 않은 명시적인 군oids 모델을 제공한다.