[논문 리뷰] Groupoid symmetry and constraints in general relativity. 1: kinematics

Christian Blohmann, M.C.B. Fernandes외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 15.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론의 제약 대수학이 시공간 내 시공간 초표면들 사이의 미분동형사상으로 구성된 군oids의 리 대수다형체 구조를 반영함을 규명하여, 이론의 운동학적 구조 뒤에 숨은 깊은 기하학적 대칭성을 드러낸다. 제약들은 아인슈타인 방정식에서 유래하지만, 그 대수적 관계는 역학과 독립적인 대칭 군oids의 것과 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

When the vacuum Einstein equations are cast in the form of hamiltonian evolution equations, the initial data lie in the cotangent bundle of the manifold M\Sigma of riemannian metrics on a Cauchy hypersurface \Sigma. As in every lagrangian field theory with symmetries, the initial data must satisfy constraints. But, unlike those of gauge theories, the constraints of general relativity do not arise as momenta of any hamiltonian group action. In this paper, we show that the bracket relations among the constraints of general relativity are identical to the bracket relations in the Lie algebroid of a groupoid consisting of diffeomorphisms between space-like hypersurfaces in spacetimes. A direct connection is still missing between the constraints themselves, whose definition is closely related to the Einstein equations, and our groupoid, in which the Einstein equations play no role at all. We discuss some of the difficulties involved in making such a connection.

연구 동기 및 목표

• canonical general relativity의 제약 대수학의 기하학적 근원을 규명하는 것.
• 일반 상대성 이론의 제약들이 해밀토니안 군 작용에서 유래할 수 있는지 탐구하는 것.
• 제약 브라켓과 시공간 초표면 간 미분동형사상 군oids의 리 대수다형체 사이의 구조적 대응을 확립하는 것.
• 아인슈타인 방정식이 제약을 정의하는 데 기여하는 것과 군oids 프레임워크에서의 대칭 실현 간의 괴리점을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 시공간의 캐우치 초표면 Σ 위의 리만계량 공간의 쌍대접속다발 원소로 일반 상대성 이론의 초기 조건을 기술하는 것.
• ADM 형식을 사용하여 일반 상대성 이론의 제약들 간의 푸아송 브라켓 관계를 분석하는 것.
• 시공간 내 시공간 초표면들 사이의 미분동형사상으로 구성된 군oids를 구성하는 것. 이는 아인슈타인 방정식과 독립적이다.
• 이 군oids의 리 대수다형체를 유도하고, 그 브라켓 관계를 중력 제약의 브라켓과 비교하는 것.
• 제약 브라켓의 대수적 구조가 정확히 군oids의 리 대수다형체 브라켓 관계와 일치함을 확인하는 것.
• 제약과 군oids 사이에 직접적인 역학적 연결이 없음을 논의하며, 개념적 괴리점을 부각하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론의 제약 대수학은 기하학적 대칭 군oids에서 기인하는 것으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 왜 일반 상대성 이론의 제약 브라켓은 초표면 간 시공간 미분동형사상 군oids의 리 대수다형체 브라켓과 정확히 일치하는가?
• RQ3 표준 게이지 이론과 유사하게, 제약들을 생성하는 순간량을 갖는 해밀토니안 군 작용이 존재하는가?
• RQ4 아인슈타인 방정식이 제약을 정의하는 데 기여하는 것과 군oids의 대칭 구조 사이의 괴리의 본질은 무엇인가?
• RQ5 제약의 역학적 정의와 군oids를 통한 기하학적 실현 간의 괴리를 어떻게 메울 수 있는가?

주요 결과

• 일반 상대성 이론의 제약들 간의 푸아송 브라켓 관계는 시공간 초표면 간 미분동형사상 군oids의 리 대수다형체 브라켓 관계와 동형임을 규명하였다.
• 제약의 대칭 구조는 아인슈타인 방정식에 의존하지 않는 군oids에 의해 코딩되어 있으며, 이는 독립적인 기하학적 기초를 시사한다.
• 게이지 이론과 달리, 일반 상대성 이론의 제약들은 해밀토니안 군 작용의 순간량으로부터 유래하지 않으며, 이는 표준 대칭 장 이론과의 주요 차이점이다.
• 제약의 대수적 구조는 군oids의 리 대수다형체에 의해 완전히 기록되어 있으며, 이는 제약 대수학의 깊은 기하학적 기반을 시사한다.
• 이러한 구조적 일치에도 불구하고, 제약과 군oids 사이에 직접적인 역학적 연결은 아직 확립되지 않아 근본적인 개념적 괴리가 남아 있다.