[논문 리뷰] Groupoid-theoretical methods in the mapping class groups of surfaces

Nariya Kawazumi, Yusuke Kuno|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 경계가 비연결인 컴팩트한 올림형 표면의 매핑 클래스 군을 연구하기 위해 군oids 이론적 방법을 도입하며, 완비화된 골드먼 리 대수를 사용하여 딜 풀트를 일반화하고 기하학적 조한슨 호모모르피즘을 정의한다. 이는 '가장 작은' 토렐리 군을 완비화된 골드먼 리 대수에서 유도된 프로-노름프레트 군에 임베딩함으로써, 경계가 연결되어 있을 경우 그 호모모르피즘의 호모모르피즘의 계수들이 고전적 조한슨 호모모르피즘을 복원함을 보여준다.

ABSTRACT

We provide some language for algebraic study of the mapping class groups for surfaces with non-connected boundary. As applications, we generalize our previous results on Dehn twists to any compact connected oriented surfaces with non-empty boundary. Moreover we embed the `smallest' Torelli group in the sense of Putman into a pro-nilpotent group coming from the Goldman Lie algebra. The graded quotients of the embedding equal the Johnson homomorphisms of all degrees if the boundary is connected.

연구 동기 및 목표

• 비연결 경계를 가진 표면의 매핑 클래스 군을 연구하기 위한 군oids 이론적 프레임워크를 개발하는 것, 여기서 표준적인 딜-니엘슨 호모모르피즘이 단사가 되지 못한다.
• 기존에 하나의 경계 성분만을 가진 종수 g의 경우에만 연구된 일반화된 딜 풀트 이론을, 비어 있지 않은 경계를 가진 임의의 컴팩트한 연결된 올림형 표면으로 일반화하는 것.
• 완비화된 골드먼 리 대수를 목표로 삼아, 다수의 경계 성분을 가진 표면의 토렐리 군에 대해 기하학적 조한슨 호모모르피즘을 구성하는 것.
• 표면 포함에 대한 조한슨 호모모르피즘의 자연성을 확립하여 포함 사상과의 호환성을 보장하는 것.
• 경계가 연결되어 있을 경우, '가장 작은' 토렐리 군을 프로-노름프레트 군에 임베딩한 결과의 계수들이 고전적 조한슨 호모모르피즘과 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 표면 Σg,r의 기본 군oids의 전부 부분범주 C를 도입하며, 각 경계 성분마다 적어도 한 개의 기저점이 있도록 하여 매핑 클래스 군 작용의 단사성을 복원한다.
• 기본 군의 하향 중심 급수에 의해 유도되는 필터링을 사용하여 골드먼 리 대수의 완비화로서 완비화된 골드먼 리 대수를 정의한다.
• 기본 군의 완비화된 군환의 도수를 사용하여 골드먼 브라켓을 통한 매핑 클래스 군 작용을 모델링한다.
• 표면 포함 i: S ↪ S′에 대해, L+(S, E) → L+(S′, E′)의 리 대수 호모모르피즘 i를 구성하여 조한슨 호모모르피즘의 포함 사상과의 호환성을 보장한다.
• 완비화된 골드먼 리 대수에서 유도된 프로-노름프레트 리 대수에 임베딩된 기하학적 조한슨 호모모르피즘 τ: I(Σg,r, E) → L+(Σg,r, E)를 정의한다.
• 푸트만의 토렐리 군 생성자 결과를 활용하여, r = 1일 때 τ의 이미지가 전체 조한슨 필터레이션을 포괄함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면의 경계 성분이 여러 개인 경우, 표준적인 딜-니엘슨 호모모르피즘이 단사가 되지 않기 때문에 매핑 클래스 군 작용은 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ2 예를 들어, 십자가 모양의 곡선(예: 8자 곡선)을 따라 일반화된 딜 풀트를 정의하고, r ≥ 2일 때 일반적인 경우에 그들이 어떤 미분구조에 의해 실현되지 않는다는 것을 보일 수 있는가?
• RQ3 경계가 분리되어 있을 경우, 고차 조한슨 호모모르피즘의 적절한 리 대수 목표는 무엇인가?
• RQ4 표면 포함에 대해 조한슨 호모모르피즘은 어떻게 행동하며, 포함 사상에 대해 자연스럽게 만들 수 있는가?
• RQ5 경계가 연결되어 있을 경우, 기하학적 조한슨 호모모르피즘의 계수들이 고전적 조한슨 호모모르피즘을 어느 정도 복원하는가?

주요 결과

• 8자 곡선을 따라 일반화된 딜 풀트는 표면의 어떤 미분구조로도 실현되지 않으며, 이는 [17]의 결과를 비어 있지 않은 경계를 가진 모든 컴팩트한 연결된 올림형 표면으로 확장한 것이다.
• 군oids C 위에서 매핑 클래스 군 작용은 단사적이며, 다수의 경계 성분을 가진 표면을 연구하기 위한 강력한 대수적 프레임워크를 제공한다.
• 기하학적 조한슨 호모모르피즘 τ는 '가장 작은' 토렐리 군(푸트만의 의미에서)을 완비화된 골드먼 리 대수에서 유도된 프로-노름프레트 리 대수에 임베딩한다.
• 경계가 연결되어 있을 경우(r = 1), τ의 계수들은 모든 차수의 고전적 조한슨 호모모르피즘과 동형이다.
• 표면 포함에 대해 기하학적 조한슨 호모모르피즘 τ는 자연스럽다. 이는 τ와 유도된 리 대수 호모모르피즘 i: L+(S, E) → L+(S′, E′)를 포함하는 도형의 교환성에 의해 보여진다.
• 이 구성은 심플렉틱 전개와 호환되며, −λθ와의 동형사상에 의해 마스위에의 총 조한슨 사상이 복원되며, 기존 이론과의 일관성을 확인한다.