[논문 리뷰] Groups of quasi-invariance and the Pontryagin duality

Saak Gabriyelyan|ArXiv.org|2008. 12. 09.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소 콪 pact 군에서 측도를 통해 정의된, 이동이 측도를 보존하거나 직교화하는 군의 일종인 준불변성 군(Quasi-Invariance groups, QI-군)을 도입한다. QI-군이 σ-콤팩트임을 증명하고, bidual이 QI-군이 되지 않는 단일 생성, 국소 준볼록이 아닌 QI-군 $\mathbb{T}^{H}_{2}$를 구성함으로써, 이중성에 있어서 폰트리아니 이중성의 성질이 유지되지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

A Polish group $G$ is called a group of quasi-invariance or a QI-group, if there exist a locally compact group $X$ and a probability measure $μ$ on $X$ such that 1) there exists a continuous monomorphism of $G$ to $X$, and 2) for each $g\in X$ either $g\in G$ and the shift $μ_g$ is equivalent to $μ$ or $g ot\in G$ and $μ_g$ is orthogonal to $μ$. It is proved that $G$ is a $σ$-compact subset of $X$. We show that there exists a quotient group $\mathbb{T}^H_2$ of $\ell^2$ modulo a discrete subgroup which is a Polish monothetic non locally quasi-convex (and hence nonreflexive) pathwise connected QI-group, and such that the bidual of $\mathbb{T}^H_2$ is not a QI-group. It is proved also that the bidual group of a QI-group may be not a saturated subgroup of $X$.

연구 동기 및 목표

• 국소 콱 pact 군의 부분군으로서 측도 이론적 불변성 성질을 갖는 QI-군을 정의하고 연구하기.
• 국소 콱 pact가 아닌 위상군에서 준볼록성, 반사성, 폰트리아니 이중성 간의 상호작용을 조사하기.
• 이중군이 QI-군이 되지 않는 QI-군의 구체적 예를 구성함으로써, 이중성에 있어서 QI-성질의 유지 여부를 도전하기.
• T-수열과 메트릭 구조가 이중군과 이중이중군 위의 폴란드 군 위상 정의에서 수행하는 역할을 명확히 하기.

제안 방법

• 각 $g \in X$에 대해 측도 이동 $\mu_g$ 가 $g \in G$ 이면 $\mu$ 와 동치이거나, $g \notin G$ 이면 직교하는 조건을 만족하는 폴란드 군 $G$ 를 국소 콱 pact 군 $X$ 에 포함된 QI-군으로 정의한다.
• 맥케이-웨일 정리를 활용하여, 측도 준불변성의 집합인 $E(\mu)$ 의 구조를 국소 콱 pact성과 폴란드 군 위상 간의 관계로 연결한다.
• 이산 부분군 $H$ 에 대해 몫군 $\mathbb{T}^{H}_{2} = \ell^2 / H$ 를 구성함으로써, 이가 폴란드 군이자 단일 생성, 경로로 연결된, 국소 준볼록이 아닌 QI-군임을 보인다.
• $T$-수열과 $\mathbb{T}^\infty$ 및 $G_p$ 위의 메트릭 구조를 활용하여 폴란드 군 위상을 정의하고 수렴성 및 이중성 분석을 수행한다.
• 콤팩트-오픈 위상과 자연스러운 준동형사상 $\alpha_G: G \to G^{\wedge\wedge}$ 을 사용하여 이중군과 이중이중군을 분석한다.
• 이중군이 $G_p^\wedge = G_0^\wedge$ 이고, 이중이중군이 $G_p^{\wedge\wedge} = G_0$ 이지만, $G_0$ 는 QI-군이 아니라는 것을 증명함으로써, 이중이중군이 QI-성질을 상속하지 않을 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폰트리아니 이중성 정리가 국소 콱 pact가 아닌 군, 특히 QI-군에 대해 확장 가능한가?
• RQ2 QI-군의 이중이중군이 QI-군이 되지 않을 수 있는가?
• RQ3 QI-군의 이중이중군은 항상 환경의 국소 콱 pact 군 $X$ 의 포화된 부분군인가?
• RQ4 이중군과 이중이중군에서 국소 준볼록성과 QI-성질 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 단일 생성, 경로로 연결된, 국소 준볼록이 아닌 QI-군을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{T}^{H}_{2} = \ell^2 / H$ 는 폴란드 군이자 단일 생성, 경로로 연결된, 국소 준볼록이 아닌 QI-군이다.
• $\mathbb{T}^{H}_{2}$ 의 이중이중군은 QI-군이 아니며, 이는 QI-성질이 이중성에 의해 유지되지 않음을 보여준다.
• QI-군의 이중이중군은 환경의 국소 콱 pact 군 $X$ 의 포화된 부분군이 되지 않을 수 있다.
• 이중군 $G_p^\wedge$ 는 $G_0^\wedge$ 와 동형이며, $G_p^{\wedge\wedge} = G_0$ 이지만, $G_0$ 는 QI-군이 아니다.
• 각 $\delta > 0$ 에 대해, 극성 집합 $U_\delta^\triangleright$ 는 어떤 $k$ 에 대해 $\phi_p(A(k,0))$ 에 포함되며, 이는 군 표현에서 계수에 대한 균일한 유계성을 의미한다.
• 자연스러운 사상 $\alpha_p: G_p \to G_p^{\wedge\wedge} = G_0$ 는 조밀한 상을 가지며, $G_p^\wedge$, $G_0^\wedge$, $G_0$ 는 반사적이지만, $G_p$ 는 국소 준볼록이 아니다.