[논문 리뷰] Groups with no coarse embeddings into hyperbolic groups

David Hume, Alessandro Sisto|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 13.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 군이 유계 차수의 하이퍼볼릭 그래프로의 코arse 임베딩을 방해하는 기하학적 장벽으로 '지수적으로 많은 두꺼운 이각형들(exponentially many fat bigons)'을 제안한다. 지수적 성장과 선형 발산을 갖는 군들, 예를 들어 비-유한 노름군의 아벨 군과 고차원 래티스와 같은 군들은 이 성질이 코arse 임베딩에 대해 보존되므로 하이퍼볼릭 군으로부터 코arse 임베딩이 불가능하다.

ABSTRACT

We introduce an obstruction to the existence of a coarse embedding of a given group or space into a hyperbolic group, or more generally into a hyperbolic graph of bounded degree. The condition we consider is "admitting exponentially many fat bigons", and it is preserved by a coarse embedding between graphs with bounded degree. Groups with exponential growth and linear divergence (such as direct products of two groups one of which has exponential growth, solvable groups that are not virtually nilpotent, and uniform higher-rank lattices) have this property and hyperbolic graphs do not, so the former cannot be coarsely embedded into the latter. Other examples include certain lacunary hyperbolic and certain small cancellation groups.

연구 동기 및 목표

• 일부 유한 생성 군이 유계 차수의 하이퍼볼릭 그래프로의 코어스 임베딩을 방해하는 기하학적 장벽을 규명하는 것.
• 군의 카일리 그래프에 지수적으로 많은 두꺼운 이각형이 존재할 경우, 하이퍼볼릭 그래프로의 코어스 임베딩이 차단됨을 증명하는 것.
• 기존의 대수적 구조(예: Baumslag–Solitar 부분군)를 넘어서 기하학적 및 성장 이론적 성질로까지 확장된 장벽을 설정하는 것.
• 하이퍼볼릭 군으로의 비임베딩을 위한 새로운 기준—지수적 성장과 선형 발산의 조합—을 제시하는 것.
• 이 장벽이 해성군, 와이어드 프로덕트, 그리고 특정 소형 군을 포함한 광범위한 군의 클래스에 적용됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 두께 있는 이각형을 정의한다. 세 점의 지오데식이 중간에서 서로 멀리 떨어져 있는 두꺼운 삼각형을 형성하는 삼중조합으로 정의한다.
• 경로가 지오데식 세그먼트의 이웃을 피하는 $(D,s,2s)$-이각형의 개념을 도입한다.
• 발산 함수 $Div(n)$을 사용하여 지오데식 주변의 공을 피하는 경로의 길이를 bound하고, 선형 발산과 이러한 이각형의 존재를 연결한다.
• 만약 $Div(n) \leq Cn$ 이며 무한히 많은 $n$ 에 대해 성립하고, 군이 지수적 성장을 갖는다면, 지수적으로 많은 두꺼운 이각형을 갖는다 증명한다.
• 직접적 곱, 해성군, 고차원 래티스, 와이어드 프로덕트 등의 특정 클래스에 결과를 적용한다. 이는 쿼어지-이sov메트릭 임베딩을 통해 이루어진다.
• 길이가 증가하는 관계식과 $C'(1/6)$-조건을 사용하여 지수적으로 많은 두꺼운 이각형을 갖는 구체적인 소형 군을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수적으로 많은 두꺼운 이각형의 존재가 하이퍼볼릭 그래프로의 코어스 임베딩을 방해하는 기하학적 장벽이 될 수 있는가?
• RQ2 지수적 성장과 선형 발산을 갖는 군 중에서 이 장벽으로 인해 하이퍼볼릭 군으로부터 코어스 임베딩이 불가능한 군은 무엇인가?
• RQ3 지수적으로 많은 긴 상호작용이 없는 관계식을 갖는 소형 군은 두꺼운 이각형을 갖는가? 그리고 따라서 하이퍼볼릭 그래프로의 임베딩이 불가능한가?
• RQ4 유계 차수의 그래프 사이의 코어스 임베딩에 대해, 지수적으로 많은 두꺼운 이각형을 갖는 성질이 유지되는가?
• RQ5 이 장벽은 비-유한 노름군의 아벨 군과 하이퍼볼릭 군으로 코어스 임베딩이 가능한 군을 구별할 수 있는가?

주요 결과

• 지수적 성장과 선형 발산을 갖는 군들, 예를 들어 비-유한 노름군의 아벨 군과 균일한 고차원 래티스 군들은 지수적으로 많은 두꺼운 이각형을 갖는다.
• 유계 차수의 그래프 사이의 코어스 임베딩에 대해, 지수적으로 많은 두꺼운 이각형을 갖는 성질은 보존된다.
• 유계 차수의 하이퍼볼릭 그래프에는 지수적으로 많은 두꺼운 이각형이 존재하지 않기 때문에, 이 성질을 갖는 군은 하이퍼볼릭 그래프로 코어스 임베딩이 불가능하다.
• 군 $G$ 가 하이퍼볼릭 군으로 코어스 임베딩이 가능할 조건은 $G$ 가 유한 노름군일 때 뿐이며, 이 경우 $G$ 가 유한 노름 해성군일 때에만 성립한다.
• Baumslag–Solitar 군 $BS(m,n)$ 의 경우, 하이퍼볼릭 군으로의 코어스 임베딩이 가능한 것은 $m=0$ 이거나 $|n|\leq1$ 일 때뿐이며, 그 외의 경우 군은 지수적 성장과 선형 발산을 갖는다.
• 길이가 증가하는 관계식과 $C'(1/6)$ 조건을 갖는 소형 군의 구체적 구성은 지수적으로 많은 두꺼운 이각형을 갖는 예시를 제공하며, 이는 하이퍼볼릭 군의 부분군가 아니라는 것을 증명한다.