[논문 리뷰] Groupwise Maximin Fair Allocation of Indivisible Goods

Siddharth Barman, Arpita Biswas외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 21.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 불가분 물품에 대한 기존 MMS보다 더 강력한 정의된 공정성 개념인 그룹별 최대최소공정할당(GMMS)을 도입한다. 이는 전체 집단 뿐 아니라 모든 부분집합에 대해서도 공정성을 보장한다. 저자들은 추가가치 평가 하에 1/2-GMMS 할당이 항상 존재함을 증명하고, 실험에서 평균 근사율 0.98을 달성하는 다항시간 알고리즘(EFL)을 제안한다. 이는 이론적 최악의 경우 bound인 0.5보다 훨씬 뛰어나다.

ABSTRACT

We study the problem of allocating indivisible goods among n agents in a fair manner. For this problem, maximin share (MMS) is a well-studied solution concept which provides a fairness threshold. Specifically, maximin share is defined as the minimum utility that an agent can guarantee for herself when asked to partition the set of goods into n bundles such that the remaining (n-1) agents pick their bundles adversarially. An allocation is deemed to be fair if every agent gets a bundle whose valuation is at least her maximin share. Even though maximin shares provide a natural benchmark for fairness, it has its own drawbacks and, in particular, it is not sufficient to rule out unsatisfactory allocations. Motivated by these considerations, in this work we define a stronger notion of fairness, called groupwise maximin share guarantee (GMMS). In GMMS, we require that the maximin share guarantee is achieved not just with respect to the grand bundle, but also among all the subgroups of agents. Hence, this solution concept strengthens MMS and provides an ex-post fairness guarantee. We show that in specific settings, GMMS allocations always exist. We also establish the existence of approximate GMMS allocations under additive valuations, and develop a polynomial-time algorithm to find such allocations. Moreover, we establish a scale of fairness wherein we show that GMMS implies approximate envy freeness. Finally, we empirically demonstrate the existence of GMMS allocations in a large set of randomly generated instances. For the same set of instances, we additionally show that our algorithm achieves an approximation factor better than the established, worst-case bound.

연구 동기 및 목표

• MMS의 한계를 해결하기 위해, 개별 공정성 기준을 충족하더라도 만족스럽지 않은 할당이 허용될 수 있다는 점을 다루기 위함.
• 전체 집단 뿐 아니라 모든 에이전트 부분집합에 대해 공정성을 보장하는 더 강력한 공정성 기준인 GMMS를 정의하기 위함.
• 추가가치 평가 하에 정확한 및 근사된 GMMS 할당에 대한 이론적 존재 결과를 확립하기 위함.
• 근사된 GMMS 할당을 계산하기 위한 효율적인 다항시간 알고리즘을 설계하고, 그 성능을 경험적으로 평가하기 위함.
• 실제 상황에서 GMMS 할당이 존재하는지, 그리고 실제 유사 사례에서 이론적 최악의 경우 bound와 비교해 어떻게 작동하는지 탐구하기 위함.

제안 방법

• 모든 에이전트가 어떤 부분집합에 제한된 상황에서 최대최소공정할당(MMS)을 최소한 확보하도록 요구하는 GMMS를 정의함으로써, 모든 부분집합에 걸쳐 사후 공정성을 보장한다.
• 반복적 번들 할당 기반의 새로운 알고리즘 프레임워크를 사용하여, 추가가치 평가 하에 1/2-GMMS 할당이 항상 존재함을 증명한다.
• 환경을 줄이고 사전순으로 개선하는(EFL) 알고리즘을 제안한다. 이는 공정성 제약 조건을 유지하면서도 근사적으로 물건을 에이전트에게 할당하는 다항시간 방법이다.
• 사전순 지배 논증을 사용하여 EFL 알고리즘의 탐색 공간 내에서 특정 할당의 최대성을 증명한다.
• 정규분포 및 균일분포 평가 분포를 사용하여, 다양한 에이전트 수와 물품 수를 가진 1000개의 무작위 생성 인스턴스에 대해 광범위한 경험적 평가를 수행한다.
• EFL 알고리즘의 성능을 이론적 최악의 경우 bound와 비교하고, 정확한 GMMS 계산 대비 런타임 효율성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 집단 뿐 아니라 모든 에이전트 부분집합에 대해 공정성을 보장하는 MMS보다 더 강력한 공정성 개념이 존재하는가?
• RQ2 정확한 GMMS 할당이 존재하는 조건는 무엇이며, 특정 설정에서 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 비현실적인 근사율 보장을 갖는 다항시간 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 제안된 알고리즘의 성능은 실질적으로 이론적 최악의 경우 bound와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 무작위 인스턴스에서 GMMS 할당이 경험적으로 가능할 수 있으며, 모든 테스트 케이스에서 존재하는가?

주요 결과

• GMMS는 전체 에이전트 집합 뿐 아니라 모든 부분집합에 대해 공정성이 유지되어야 하므로, MMS보다 엄밀히 더 강력한 공정성 개념이다.
• 논문은 추가가치 평가 하에 1/2-GMMS 할당이 항상 존재함을 증명하여 이론적 존재 결과를 확립한다.
• 제안된 EFL 알고리즘은 다항시간 내에 1/2-GMMS 할당을 계산하여 실용적 구현에 적합한 효율적인 솔루션을 제공한다.
• 경험적으로 EFL 알고리즘은 1000개의 무작위 인스턴스에서 평균 근사율 0.98을 달성한다. 이는 이론적 최악의 경우 bound인 0.5보다 훨씬 뛰어나다.
• 모든 1000개의 무작위 생성 인스턴스에서 GMMS 할당이 발견되어 강력한 경험적 타당성을 보여주며, 특히 동일한 순서의 선호도(SOP)가 아닌 경우에서 두드러진다.
• EFL 알고리즘은 정확한 GMMS 계산보다 약 10^7배 빠르며, 대규모 응용에 실용적으로 가능하다.