[논문 리뷰] Growth in finite simple groups of Lie type of bounded rank

László Pyber, Endre Szabó|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 11.

Finite Group Theory Research참고 문헌 42인용 수 67

한 줄 요약

이 논문은 유한 단순 리 군의 유형을 가진 유한 단순군에서, 유계 랭크를 가진 생성 집합이 곱셈에 대해 빠르게 커진다는 것을 증명한다. 이는 $|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$ 또는 $A^3 = L$임을 의미하며, $\varepsilon > 0$는 리 랭크에만 의존한다. 이는 카이리 그래프의 다항로그 길이 경계를 이끌어내며, 새로운 확장자 가족을 제공하며, 유한 단순군의 다이아미터에 대한 바바이의 추측의 핵심 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

We prove that if L is a finite simple group of Lie type and A a symmetric set of generators of L, then A grows i.e |AAA| > |A|^{1+epsilon} where epsilon depends only on the Lie rank of L, or AAA=L. This implies that for a family of simple groups L of Lie type of bounded rank the diameter of any Cayley graph is polylogarithmic in |L|. We obtain a similar bound for the diameters of all Cayley graphs of perfect subgroups of GL(n,p) generated by their elements of order p. We also obtain some new families of expanders. We also prove the following partial extension. Let G be a subgroup of GL(n,p), p a prime, and S a symmetric set of generators of G satisfying |S^3|\le K|S| for some K. Then G has two normal subgroups H\ge P such that H/P is soluble, P is contained in S^6 and S is covered by K^c cosets of H where c depends on n. We obtain results of similar flavour for sets generating infinite subgroups of GL(n,F), F an arbitrary field.

연구 동기 및 목표

• 유계 랭크를 가진 유한 단순 리 군의 카이리 그래프에 대한 바바이의 추측, 즉 다이아미터에 대한 추측을 해결하기 위해.
• 이러한 군들에서 작고 생성 집합이 곱셈에 대해 빠르게 커지는 균일한 성장 현상을 확립하기 위해.
• 성장 결과로부터 새로운 종류의 확장자 그래프를 도출하기 위해.
• 성장 프레임워크를 $GL(n,p)$의 부분군과 임의의 체 위의 무한 선형군으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 유한 단순 리 군의 집합 성장 분석을 위해 대수기하학, 다항식 방법, 군론적 기법의 조합을 사용한다.
• 대수다양체와 사상의 차수 개념을 적용하여 군 작용에 따른 역상의 성분 수와 차수를 제한한다.
• 다항식의 다변수 설정에서 유클리드 알고리즘과 다항식 나눗셈을 활용하여 재귀적 분할 과정에서 중간 대수다양체의 차수를 제어한다.
• 대수군과 그 부분군의 구조를 이용하여 문제를 유계 랭크 설정으로 축소하고, 귀납법을 적용한다.
• 가우어스와 헬프고트의 곱집합 및 확장 결과를 적용하여 성장 결과를 임의의 유한 단순 리 군의 유형으로 확장한다.
• K-근사군의 개념과 단순 정규 부분군의 잔여류를 이용하여 생성하지 않는 집합을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 랭크를 가진 유한 단순 리 군의 모든 대칭 생성 집합 $A$에 대해, 랭크에만 의존하는 어떤 $\varepsilon > 0$에 대해 $|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$가 성립하는가?
• RQ2 이러한 군의 카이리 그래프의 다이아미터가 군의 순서에 대한 다항로그 함수로 경계지을 수 있는가?
• RQ3 성장 결과는 이러한 군의 카이리 그래프들 사이에 확장자 가족의 존재를 암시하는가?
• RQ4 성장 프레임워크는 $GL(n,p)$의 부분군과 임의의 체 위의 무한 선형군으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 성장 지수 $\varepsilon$는 리 랭크 $r$에 어떻게 의존하는가? 그리고 이 의존성은 필수적인가?

주요 결과

• 모든 리 랭크 $r$을 가진 유한 단순 군 $L$과 모든 대칭 생성 집합 $S$에 대해, $\Gamma(L,S)$의 다이아미터는 $r$에만 의존하는 상수 $c(r)$에 대해 $(\log|L|)^{c(r)}$로 경계지어진다.
• 또다시 $A^3 = L$ 또는 $|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$이 성립하며, $\varepsilon > 0$는 랭크 $r$에만 의존한다. 이는 유계 랭크 군에서 균일한 성장을 증명한다.
• 성장 지수 $\varepsilon$가 $r$에 의존하는 것이 필수적이라는 것을 보여주는 명시적 예를 구성한다: $SL(n,3)$에 대해, 크기가 $2^{n-1}+4$인 생성 집합이 존재하며, 이 경우 $|A^3| < 100|A|$이다.
• 결과는 유계 랭크를 가진 유한 단순 리 군의 카이리 그래프가 다항로그 길이를 가진 확장자 가족을 이룬다는 것을 암시한다.
• 부분적인 확장 결과가 증명되었다: $G \leq GL(n,p)$이고 $|S^3| \leq K|S|$이면, $H \geq P$인 정규 부분군 $H$가 존재하며, $H/P$는 아벨리안이며, $P \subseteq S^6$, $S$는 $H$의 $K^c$개의 잔여류로 덮이며, $c$는 $n$에만 의존한다.
• 성장 결과는 $SL(n,p)$에 대해 바운드-가우어-감버드 확장 추측을 암시한다. 왜냐하면 필요한 성장 조건이 이제 확인되었기 때문이다.