[논문 리뷰] Growth in free groups (and other stories)

Igor Rivin|ArXiv.org|1999. 11. 11.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 6인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 생성함수와 체비셰프 다항식을 사용하여 자유군 내 순환적으로 감소한 단어와 공액류의 분포 및 성장을 조사한다. 원소들이 소수 p에 대해 점점 더 균일하게 분포됨을 증명하고, 공액류 성장에 대한 명시적인 유리수 생성함수를 유도하며, 정규 그래프와 마코프 체인으로의 프레임워크를 확장하여, 원시 공액류에 대한 제타 함수의 유리성을 증명한다.

ABSTRACT

We start by studying the distribution of (cyclically reduced) elements of the free groups with respect to their abelianization. We derive an explicit generating function, and a limiting distribution, by means of certain results (of independent interest) on Chebyshev polynomials; we also prove that the reductions $\mod p$ ($p$ -- an arbitrary prime) of these classes are asymptotically equidistributed, and we study the deviation from equidistribution. We extend our techniques to a more general setting and use them to study the statistical properties of long cycles (and paths) on regular (directed and undirected) graphs. We return to the free group to study some growth functions of the number of conjugacy classes as a function of their cyclically reduced length.

연구 동기 및 목표

• 자유군에서 순환적으로 감소한 단어의 아벨화와 호모로지 클래스에 따른 분포를 이해하기 위해.
• 주어진 아벨화를 가진 이러한 단어의 수에 대한 명시적인 생성함수를 유도하기 위해.
• 이 원소들이 소수 p에 대해 점차 균일하게 분포됨을 분석하고, 오차 한계를 제공하기 위해.
• 이 방법을 정규 그래프와 마코프 체인으로 확장하여, 긴 경로의 균일 분포를 증명하기 위해.
• 자유군 내 공액류의 성장 함수를 연구하고, 그 유리성 또는 무리성을 판단하기 위해.

제안 방법

• 자유군 $F_r$ 내 순환적으로 감소한 단어와 특정 그래프 $\mathcal{G}_r$에서의 닫힌 산책 사이의 대응을 사용한다. $\mathcal{G}_r$은 $2r$개의 정점을 가진다.
• 그래프 $\mathcal{G}_r$의 인접행렬의 스펙트럼 이론을 적용하여 호모로지 클래스별 단어 수의 생성함수를 도출한다.
• 첫 번째 종류의 체비셰프 다항식의 성질에 기반하여 생성함수를 표현하고, 양성 결과를 증명한다.
• 기초적인 변화 이론을 사용하여 정규 그래프와 마코프 체인에서의 산책의 균일 분포를 분석한다.
• 인접행렬의 거듭제곱의 트레이스를 사용하여 원시 공액류에 대한 제타 함수를 구성한다.
• 행렬식 $\det(I - uA(G))$를 통해 $I - uA(G)$의 행렬식을 이용하여 제타 함수의 유리 표현을 도출한다. 이는 이하라의 제타 함수를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유군 $F_r$에서 주어진 길이와 아벨화를 가진 순환적으로 감소한 단어의 수에 대한 생성함수는 무엇인가?
• RQ2 소수 $p$에 대해 순환적으로 감소한 단어는 호모로지 클래스에 어떻게 분포되어 있는가?
• RQ3 이 단어들의 분포가 소수 $p$에 대해 얼마나 균일하게 분포되어 있으며, 오차 항은 무엇인가?
• RQ4 길이가 유계인 공액류의 수에 대한 생성함수는 유리수인가 무리수인가?
• RQ5 자유군 내 원시 공액류에 대한 제타 함수의 구조는 무엇이며, 그 유리성은 어떠한가?

주요 결과

• 주어진 아벨화를 가진 순환적으로 감소한 단어의 수에 대한 생성함수는 첫 번째 종류의 체비셰프 다항식으로 표현된다.
• 자유군 $F_r$ 내 순환적으로 감소한 단어의 분포는 길이 $n \to \infty$일 때 한계 분포로 수렴하며, 이는 분석적으로 체비셰프 다항식의 행동과 직접 연결된다.
• 자유군 $F_r$ 내 순환적으로 감소한 단어의 $p$에 대한 환원은 $H_1(F_r, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$의 $p^r$개의 호모로지 클래스에 점차적으로 균일하게 분포되며, 명시적인 오차 한계가 제공된다.
• 자유군 $F_r$ 내 원시 공액류에 대한 제타 함수는 유리수이며, $\zeta(F_r) = \frac{(1 - u^2)^{r-1}(1 - u)}{1 - (2r - 1)u}$로 주어진다.
• 자유군 $F_k$와 $F_m$의 직접곱($k, m \geq 1$)과 자유군 및 유한군을 포함하는 직접곱에서는 공액류 수에 대한 생성함수가 무리수이다.
• 유한 그래프 $G$에 대한 제타 함수는 $\zeta_G(u) = \det(I - uA(G))$로 주어지며, 이는 이하라의 제타 함수를 일반화하고, 행렬 행렬식을 통해 유리성을 증명한다.