[논문 리뷰] Growth in Right-Angled Groups and Monoids

Jayadev S. Athreya, Amritanshu Prasad|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 그래프 모노이드, 오른쪽-모서리 아르틴 군(RAAGs), 오른쪽-모서리 코x터 군(RACGs)의 구형 및 지오데식 성장 함수 사이의 기능적 관계를 수립한다. 오른쪽-모서리 아르틴 군의 구형 성장 함수는 정의 그래프의 클리크 다항식을 통해 공식 $\mathrm{RAAG}_{\Gamma}(t) = \frac{1}{p_{\Gamma}\left(\frac{-2t}{1+t}\right)}$ 로 결정됨을 보이며, 링크-정규성과 행렬 기반 재귀 관계를 이용한 지오데식 생성 함수 계산을 위한 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

We derive functional relationships between spherical generating functions of graph monoids, right-angled Artin groups and right-angled Coxeter groups. We use these relationships to express the spherical generating function of a right-angled Artin group in terms of the clique polynomial of its defining graph. We also describe algorithms for computing the geodesic generating functions of these structures.

연구 동기 및 목표

• 그래프 모노이드, RAAGs, RACGs의 구형 생성 함수 사이의 기능적 관계를 유도하기 위해.
• 정의 그래프의 클리크 다항식을 통해 오른쪽-모서리 아르틴 군의 구형 생성 함수를 표현하기 위해.
• 특히 링크-정규성 조건 하에서 이러한 구조의 지오데식 생성 함수를 계산하기 위한 알고리즘을 개발하기 위해.
• 지오데식 생성 함수가 링크-정규 그래프의 클리크 다항식에 의해 결정됨을 입증하여 이전 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 성장 함수를 모노이드, RAAGs, RACGs 간에 연결하기 위해 Cartier-Foata 항등식과 셔플 관계를 사용한다.
• 그들은 길이 $l(x)$에 따라 $t^{l(x)}$의 형식적 멱급수 합으로 정의된 구형 생성 함수를 정의하고, 클리크 다항식 $p_{\Gamma}(t)$ 를 사용하여 유리식 표현을 유도한다.
• 지오데식 성장에 대해, 약한 분기의 개념을 도입하고 포함-배제 원리를 사용하여 주어진 클리크에서 약하게 분기하는 클리크를 세는 데 사용한다.
• 형식(클리크 크기)에 따른 단어 수의 재귀 관계를 모델링하기 위해 행렬 $\bar{B}_1$ 과 대각 행렬 $\bar{D}$ 를 정의하여 벡터 값 생성 함수를 가능하게 한다.
• 링크-정규성을 활용하여 재귀 계수들이 특정 클리크에 의존하지 않고 클리크 크기만에 의존하도록 하여 계산을 단순화한다.
• 이 방법은 최종적으로 행렬 역행렬을 통해 유리 생성 함수 표현으로 이어지며, $\sum \bar{\mathbf{m}}_n t^n = t[I - (\bar{D} + \bar{B}_1)t]^{-1}\bar{\mathbf{m}}_1$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정의 그래프의 클리크 다항식을 통해 그래프 모노이드, RAAGs, RACGs의 구형 생성 함수는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 오른쪽-모서리 아르틴 군의 구형 성장 함수는 정의 그래프의 클리크 다항식을 사용해 닫힌 형식으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 지오데식 생성 함수를 그래프의 조합적 자료를 이용해 알고리즘적으로 계산할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 RAAGs와 RACGs의 지오데식 생성 함수가 정의 그래프의 클리크 다항식에 의해 오직 그것에 의존하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 정의 그래프의 어떤 구조적 성질—예를 들어 링크-정규성—이 성장 함수 계산을 단순화하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 오른쪽-모서리 아르틴 군의 구형 생성 함수는 $\mathrm{RAAG}_{\Gamma}(t) = \frac{1}{p_{\Gamma}\left(\frac{-2t}{1+t}\right)}$ 로 주어지며, 모노이드와 코x터 군에 대한 알려진 공식을 일반화한다.
• 노드 수 $m$ 인 완전 그래프의 경우, 해당 RAAG의 구형 성장 함수는 $\left(\frac{1+t}{1-t}\right)^m$ 이며, $\mathbb{Z}^m$ 에서 $\ell^1$-구의 수와 일치한다.
• 자유군 $F_2$ 의 경우, $m$ 개 정점의 간선이 없는 그래프 $\Gamma$ 를 사용하면, 구형 성장 함수는 $\frac{1+t}{1-(2m-1)t}$ 로 주어지며, 자유군의 단어 수와 일치한다.
• 정사각형 그래프(정의 $F_2 \times F_2$)의 경우, 클리크 다항식은 $(1+2t)^2$ 이며, 구형 성장 함수는 $\left(\frac{1+t}{1-3t}\right)^2$ 로 산출된다.
• 선형 그래프 $A_m$ 의 경우, 클리크 다항식은 $1 + mt + (m-1)t^2$ 이며, 구형 성장 함수는 $\frac{(1+t)^2}{1 - 2(m-1)t + (2m-3)t^2}$ 로 이끌어진다.
• 두 링크-정규 그래프가 동일한 클리크 다항식을 가질 경우, $\mathrm{GM}_\Gamma$, $\mathrm{RAAG}_\Gamma$, $\mathrm{RACG}_\Gamma$ 의 지오데식 생성 함수는 동일하며, $\mathrm{GM}^*_{\Gamma_1}(t) = \mathrm{GM}^*_{\Gamma_2}(t)$ 등으로 나타낸다.