[논문 리뷰] Growth of $p$th means of analytic and subharmonic functions in the unit disc and angular distribution of zeros

Igor Chyzhykov|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 07.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 그리신 이론에 영감을 받은 완전 측도 프레임워크를 도입하여, 단위 원판 내에서 해석적 및 조화 함수의 $L^p$-평균의 성장에 관한 고전 결과를 일반화한다. $p \in (1,\infty)$ 및 유한 차수 함수에 대해 맥클레인과 루벨의 $L^2$-유계성에 관한 연구를 $L^p$-공간으로 확장하며, 각도적 영점 분포를 통해 $\log|f|$의 $p$번째 평균의 유계성과 성장에 대해 정확한 필요충분조건을 확립한다.

ABSTRACT

Answering a question of A.Zygmund in \cite{MR} G.MacLane and L.Rubel described boundedness of $L_2$-norm w.r.t. the argument of $\log |B|$, where $B$ is a Blaschke product. We generalize their results in several directions. We describe growth of $p$th means, $p\in(1, \infty)$, of subharmonic functions bounded from above in the unit disc. Necessary and sufficient conditions are formulated in terms of the complete measure (of a subharmonic function) in the sense of A.Grishin. We also prove sharp estimates of the growth of $p$th means of analytic and subharmonic functions of finite order in the unit disc.

연구 동기 및 목표

• 블라시케 곱에 대해 맥클레인과 루벨의 $L^2$-유계성 특성화를 $p \in (1,\infty)$에 대해 일반화하여 $L^p$-평균으로 확장한다.
• 해석적 및 조화 함수에 대해 $\log|f|$의 $p$번째 평균의 성장률을 결정짓는 각도적 영점 분포에 대한 명시적이고 기하학적인 조건을 제공한다.
• 이러한 결과를 단위 원판 내 유한 차수 함수로 확장하여 정확한 성장 추정치를 제시한다.
• 조화 함수의 완전 측도와 그 $p$번째 평균의 성장 간의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 그리신이 도입한 단위 원판 내 조화 함수의 완전 측도 개념을 사용하여 성장 행동을 특성화한다.
• $p$번째 평균 $m_p(r,u) = \left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|u(re^{i\theta})|^p d\theta\right)^{1/p}$ 와 성장 차수 $\rho_p[u] = \limsup_{r\uparrow 1} \frac{\log^+ m_p(r,u)}{-\log(1-r)}$ 를 정의한다.
• 경계 근처의 영점 집중도를 측정하기 위해 각도 영역 $\mathcal{C}(\varphi,\delta)$ 를 사용하는 기하학적 영점 분포 모델을 도입한다.
• 최대 함수 추정과 이진 분해 기법을 적용하여 $L^p$-노름과 $m_p(r,\log|f|)$ 의 성장 간의 관계를 규명한다.
• 포아송 적분과 최대 함수를 비교하여 유계성 및 성장률에 대한 필요충분조건을 도출한다.
• 시험 함수와 명시적 구성(예: $f(z) = \exp((1-z)^{-q-1})$)을 사용하여 추정치의 정확성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 함수에 대해 단위 원판 내에서 $p$번째 평균 $m_p(r, \log|f|)$ 의 유계성을 보장하는 영점의 각도적 분포에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 완전 측도를 통해 볼 때, 상한으로 유계인 조화 함수에 대해 $m_p(r, \log|f|)$ 의 성장은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 맥클레인과 루벨의 $\log|B|$ 에 대한 $L^2$-유계성 결과를 $p \in (1,\infty)$ 인 $L^p$-공간으로 확장할 수 있는가? 영점 수열의 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ4 유한 차수를 가진 해석적 함수에 대해 $m_p(r, \log|f|)$ 의 정확한 성장률은 무엇이며, 경계 근처의 영점 분포와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $\psi_0$ 함수(영점 밀도와 관련)의 $L^p$-적분 가능성 성질이 $m_p(r, \log|B|)$ 의 $L^p$-유계성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $p \in (1,\infty)$ 일 때, $m_p(r, \log|B|)$ 가 $[0,1)$ 에서 유계이기 위한 필요충분조건은 $\psi_0 \in L^p(\partial\mathbb{D})$ 이다. 여기서 $\psi_0(\zeta) = \sum_{|a_n| \geq 1} \frac{(1-|a_n|)^2}{|\zeta - a_n|^2}$ 이다.
• 유한 차수 함수에 대해 $m_p(r, \log|f|)$ 의 성장은 영점의 각도적 집중도를 통해 정확히 추정된다: 만약 $n(r,B) = O((1-r)^{-\alpha})$ 이면, $m_p(r, \log|f|) \asymp (1-r)^{\frac{1}{p} - \alpha}$ 이다.
• 너비가 $\sim (1-r)^\gamma$ 인 스톨츠 각도 내에 영점이 있는 블라시케 곱의 경우, $\gamma \geq 1$ 이면 해당 영역 내 영점 수는 $C(1-r)^{-\frac{1}{2}}$ 이하로 유계이며, $\gamma < 1$ 이면 $C(1-r)^{-(1 - \frac{\gamma}{2})}$ 이하로 유계지며, 이는 이전 결과의 정확성과 일치한다.
• 각도 영역 $\mathcal{C}(\varphi,\delta)$ 에서 완전 측도 $\lambda(\mathcal{C}(\varphi,\delta))$ 의 $L^p$-노름은 적절한 영점 분포 조건 하에서 $\left(\int_0^{2\pi} \lambda(\mathcal{C}(\varphi,\delta))^p d\varphi\right)^{1/p} \sim \delta^{1+s-\alpha}$ 로 수렴하며, $\delta \downarrow 0$ 일 때 성립한다.
• 함수 $f(z) = \exp\left(\left(\frac{1}{1-z}\right)^{q+1}\right)$ 에 대해, $p$번째 평균은 $m_p(r, \log|f|) \asymp (1-r)^{\frac{1}{p} - q - 1}$ 로 성장하며, 이는 유도된 추정치의 정확성을 확인한다.
• $n(r,f) = O((1-r)^{-1/p})$ 는 $\sup_r m_p(r, \log|f|) < \infty$ 를 보장하는 것으로 충분하며, 이 조건은 더 강력한 영점 분포 제약 조건 없이 개선될 수 없음을 의미한다.