[논문 리뷰] Growth of some transversely homogeneous foliations

Jesús A. Álvarez López, Robert Wolak|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 06.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 다양체 위의 횡방향으로 균일한 분할에 대해 이분법을 설정한다: 전역 호로노미 군의 닫힘이 연결되어 있으면, 모든 잎의 호로노미 커버는 균일하게 유계인 다항식 성장 또는 모두 지수 성장을 보인다. 이 결과는 베르로일드와 젤란더의 리 분할에 대한 이분법을 더 넓은 범주인 (G, G/P)-분할로 확장하며, 준등거리 기법과 동질적 준군의 성장 이론을 사용한다. 이는 횡방향으로 사영 분할에 응용된다.

ABSTRACT

For transversely homogeneous foliations on compact manifolds whose global holonomy group has connected closure, it is shown that either all holonomy covers of the leaves have polynomial growth with degree bounded by a common constant, or all holonomy covers of the leaves have exponential growth. This is an extension of a recent answer given by Breuillard and Gelander to a question of Carri\`ere. Examples of transversely projective foliations satisfying the above condition were constructed by Chihi and ben Ramdane.

연구 동기 및 목표

• 리 분할에서 잎의 성장에 대한 브루아일드와 젤란더의 이분법을 횡방향으로 균일한 (G, G/P)-분할로 확장하기.
• 컴팩트 다원체 위의 횡방향으로 균일한 분할에서 잎의 호로노미 커버의 성장 행동을 조사하기.
• 모든 호로노미 커버가 균일하게 유계인 다항식 성장 또는 지수 성장을 보이는 조건을 확립하기.
• 전역 호로노미 군의 연결성이 호로노미 커버의 성장 유형을 결정하는 데 미치는 영향 분석하기.

제안 방법

• 호로노미 커버와 기저 커버의 기하학을 비교하기 위해 메트릭 공간에서의 거친 준등거리성과 성장 유형을 사용하기.
• 부분군 Γ ⊂ G 가 G/P 의 열린 부분집합에서 작용함으로써 (G, G/P)-준군 정의하기.
• 준군에 대한 대칭 생성집합 S 와 S′ 을 사용하여 재귀적 컴팩트 생성 체계 구축하기.
• 비노르말리언 군의 연결된 리 군에서 자유 반군을 찾기 위해 [5, 보조정리 10.5] 적용하기.
• 생성집합 S 에 의해 유도된 메트릭 dS,U,x 를 사용하여 단어 길이를 통해 성장 분석하기.
• 보조정리 2.7 을 활용하여 dS′,U,x 에서의 성장 유형 결과를 dE 로 이행시키며, 비노르말리언 경우에 지수 성장 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 횡방향으로 균일한 분할에서 모든 잎의 호로노미 커버가 균일하게 유계인 다항식 성장을 보이기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 분할에서 모든 잎의 호로노미 커버가 지수 성장을 보이기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 전역 호로노미 군 Γ 의 연결성이 잎의 호로노미 커버의 성장 유형에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 비콤팩트 P 를 가진 (G, G/P)-분할로도 리 분할에서 관찰된 이분법을 확장할 수 있는가?
• RQ5 호로노미 군 내 자유 반군의 존재가 지수 성장을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 전역 호로노미 군 Γ 의 닫힘이 연결되어 있으면, 모든 잎의 호로노미 커버는 공통 상수로 유계된 다항식 성장을 하거나, 모두 지수 성장을 보인다.
• 증명은 Γ 가 비노르말리언이고 연결되어 있으면 자유 반군(순위 ≥2) 을 포함함을 보여, 이는 호로노미 커버에서 지수 성장을 이끌어낸다.
• 노르말리언 Γ 의 경우 성장은 다항식이며, 노르말리언 정도에 의해 균일하게 유계된다.
• G 가 G/P 에 작용하는 것이 충실하고 G/P 가 연결되어 있을 경우, (G, G/P)-분할에 대해 이 결과가 성립한다.
• 이분법은 거친 준등거리 기법과 준군 및 그 생성집합 간의 성장 비교를 통해 확립된다.
• 정리가 횡방향으로 사영 분할에 적용되며, 치히와 벤 라무단이 구성한 비영인 고드빌론-베이 불리언 불변량을 가진 예시를 포함한다.