[논문 리뷰] Growth of the asymptotic dimension function for groups

G. Bell|ArXiv.org|2005. 04. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 군에서 점 游적 치수 함수의 증가율을 조사하며, 이 함수의 증가율이 군의 그래프와 상대적으로 히퍼볼릭 군에서의 주변 부분군의 치수 함수 증가율에 의해 제어됨을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 군의 점 游적 치수 함수가 그 구성 부분군의 것보다 더 빠르게 증가하지 않음을 증명하며, 이러한 구성에서 치수 증가율에 대한 통일된 상한을 제공한다.

ABSTRACT

It is relatively easy to construct a finitely generated group with infinite asymptotic dimension: the restricted wreath product of $\mathbb{Z}$ by $\mathbb{Z}$ provides an example. In light of this, it becomes interesting to consider the rate of growth of the asymptotic dimension function of a group. Loosely speaking, we measure the dimension on $λ$-scale and let $λ$ increase to infinity to recover the asymptotic dimension. In this paper we consider how the asymptotic dimension function is affected by different constructions involving groups.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군에서 점 游적 치수 함수의 증가율을 이해하기, 특히 점 游적 치수가 무한일 경우에 중점을 두어.
• 특히 군의 구성 방식—즉, 그래프의 군과 상대적으로 히퍼볼릭 구조—가 점 游적 치수 함수의 증가율에 미치는 영향을 분석하기.
• 점 游적 치수 함수가 느리게 증가하는(예: 다항식적으로) 데를 충족시키는 충분한 조건을 설정하기, 이는 성질 A와 정확성과 같은 군의 거칠은 기하학적 성질과 연결하기.
• 기존의 점 游적 치수에 대한 결과를, 특히 준위상적 불변량과 거칠은 매장의 맥락에서 함수 수준의 증가율로 확장하기.

제안 방법

• Lebesgue 수가 적어도 $\lambda$ 이상인 균일하게 유한한 커버의 최소 다중도에서 1을 뺀 값으로 정의된 점 游적 치수 함수 $\operatorname{ad}_X(\lambda)$ 를 사용한다.
• 실수값 함수의 증가율을 비교하기 위해 $\mathbb{R}_+$ 위에서 정의된 함수들 사이의 준위상적 불변 증가 관계 $f \preceq g$ 를 적용하여 치수 함수를 비교한다.
• 유한한 점 游적 치수를 가진 메트릭 공간 위에 등장하는 등급 군 작용을 분석하며, 이웃 영역의 안정자군을 분석하여 $\operatorname{ad}_\Gamma$ 의 증가율을 제어한다.
• 오신(Osin)의 상대적으로 히퍼볼릭 군에 관한 결과를 적용하여, $S \cup \mathcal{H}$-메트릭에서의 $R$-안정자 집합 $W_R(e)$ 의 차원 증가율이 제어됨을 보인다.
• 귀납법과 유한 합집합 정리(union theorems)를 사용하여, $S \cup \mathcal{H}$-메트릭에서 공 $B(n)$ 의 차원 함수가, 각 $H_\ell$ 의 주변 부분군의 차원 함수보다 더 빠르게 증가하지 않음을 보이며, $\operatorname{ad}_{H_\ell} \leq f$ 이면 $\operatorname{ad}_{B(n)} \preceq f$ 를 유도한다.
• 코셋 $\gamma H_\ell$ 가 등거리이며 균일하게 분리되어 있음을 이용하여, 이들의 차원 증가율에 대해 균일한 제어를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식과 지수 함수 사이의 중간 증가율을 보이는 군이 존재하는가?
• RQ2 유한한 점 游적 치수를 가진 군들의 제한된 와이어드 프로덕트의 점 游적 치수 함수가 최대 다항식적으로 유계인가?
• RQ3 다항식 증가율을 가진 군의 집합은 제한된 와이어드 프로덕트 형성에 대해 닫혀 있는가?
• RQ4 특정 증가율 이하에서는 성질 A 를 만족하거나 힐버트 공간으로의 거칠은 매장을 가질 수 있지만, 더 빠른 증가율을 보이는 군은 그렇지 않은 임계 증가율이 존재하는가?
• RQ5 정확한 수열 $1 \to K \to G \to H \to 1$ 에서 $\operatorname{ad}_G \approx \max\{\operatorname{ad}_K, \operatorname{ad}_H\}$ 가 성립하는가?

주요 결과

• 유한하고 연결된 유한 생성 군의 그래프 $\Gamma$ 에 대해, $\Gamma$ 의 점 游적 치수 함수는 정점 군 $G_p$ 의 것보다 더 빠르게 증가하지 않으며, 즉 $\operatorname{ad}_\Gamma \preceq \max_p \operatorname{ad}_{G_p}$ 이다.
• 서브군 $H_1, \dots, H_n$ 으로 상대적으로 히퍼볼릭인 유한 생성 군 $\Gamma$ 에 대해, $\Gamma$ 의 점 游적 치수 함수는 각 $H_i$ 의 것보다 더 빠르게 증가하지 않으며, 따라서 모든 $i$ 에 대해 $\operatorname{ad}_\Gamma \preceq \operatorname{ad}_{H_i}$ 이다.
• 주변 부분군 $H_i$ 의 차원 함수가 어떤 함수 $f$ 보다 최대한 느리게 증가하면, $\operatorname{ad}_\Gamma \preceq f$ 가 성립하여 $\Gamma$ 의 증가율에 대한 통일된 제어를 확립한다.
• 점 游적 치수 함수의 증가율은 준위상적 불변 관계 $\preceq$ 의 의미에서 준위상적 불변이며, 이는 준위상적 동치인 공간들 사이에서의 비교를 가능하게 한다.
• 통제된 Lebesgue 수와 다중도를 가진 커버의 구성은, $S \cup \mathcal{H}$-메트릭에서 공의 크기의 귀납법을 통해 차원 상한을 도출할 수 있다.
• 이 방법은 점 游적 치수 함수의 증가율이 선형 이하 또는 다항식 수준일 경우, 유의 성질 A 를 만족함을 확인하며, 이는 증가율과 거칠은 기하학적 불변량 간의 연결 고리를 확인한다.