[논문 리뷰] Growth rates of cocompact hyperbolic Coxeter groups and 2-Salem numbers

Yuriko Umemoto|Osaka City University (Osaka City University)|2013. 06. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $Δ^4$ 내의 코컴팩트 하이퍼볼릭 코zens터 군의 성장률로서 무한히 많은 2-세일름 수를 구성한다. 이는 압축된 코zens터 4단체 타일(이하 코zens터 도미노라 칭함)을 붙임으로써 이루어지며, Zehrt & Zehrt의 성장 함수 공식을 사용하고 분모 다항식을 모듈로 산술을 통해 분석함으로써, 붙임 매개변수 $(\ell,m,n)$ 에 대한 특정 조건 하에서 분모 다항식이 단위원 위에 모든 근을 가지며, 나머지 두 쌍의 실수 역수 근을 제외하고, 이는 2-세일름 수의 성장률임을 확인한다.

ABSTRACT

By the results of Cannon, Wagreich and Parry, it is known that the growth rate of a cocompact Coxeter group in 2-dimensional hyperbolic space $H^2$ and 3-dimensional hyperbolic space $H^3$ is a Salem number. Kerada defined a j-Salem number, which is a generalization of a Salem number. In this paper, we realize infinitely many 2-Salem numbers as the growth rates of cocompact Coxeter groups in 4-dimensional hyperbolic space $H ^4$. Our Coxeter polytopes are constructed by successive gluing of Coxeter polytopes which we call Coxeter dominoes.

연구 동기 및 목표

• 코컴팩트 하이퍼볼릭 코zens터 군의 성장률이 $Δ^2$ 및 $Δ^3$ 에서 세일름 수임이 알려진 결과를 고차원으로 확장하기 위해.
• 세일름 수의 일반화인 2-세일름 수가 $Δ^4$ 내에서 성장률로 나타날 수 있는지 조사하기 위해.
• 성장률이 2-세일름 수인 코컴팩트 하이퍼볼릭 코젠터 군의 명시적 가족을 구성하기 위해.
• 성장 함수의 분모 다항식이 2-세일름 다항식의 특성인 근 분포를 보이도록 붙임 매개변수 $(\ell,m,n)$ 에 대한 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 초과 코zens터 단체에서 유도된 초구형 정점을 가진 압축된 코zens터 4단체 $T \subset \mathbb{H}^4$ 를 구성하기 위해.
• 이sov메트릭 수직 면(유형 A, B, C)을 따라 $T$ 를 반복적으로 붙임으로써 형성된 유한하지 않은 코zens터 다면체의 무한 가족인 코zens터 도미노를 정의하기 위해.
• T. Zehrt와 C. Zehrt가 개발한 성장 함수 공식을 적용하여 이러한 도미노의 성장 시리즈의 분모 다항식 $Q_{\ell,m,n}(t)$ 를 계산하기 위해.
• 2-세일름 수의 특성에 필수적인 4차 단위 다항식의 역수 대칭 인수의 존재 여부를 배제하기 위해 모듈로 3 산술을 사용하기 위해.
• 분모 다항식의 구조에서 유도된 디오판틴 방정식계 $f_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ 와 $g_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ 를 분석하여 기약성과 근 분포를 결정하기 위해.
• 일부 매개변수 집합 $(\ell,m,n)$ 에 대해 $Q_{\ell,m,n}(t)$ 의 모든 근이 단위원 위에 있고, 나머지 두 쌍의 실수 역수 근을 제외한 나머지 근들이 단위원 위에 존재함을 증명함으로써, 2-세일름 수 성장률임을 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-세일름 수, 즉 세일름 수의 일반화는 하이퍼볼릭 4차원 공간 $\mathbb{H}^4$ 내의 코컴팩트 하이퍼볼릭 코젠터 군의 성장률로 실현될 수 있는가?
• RQ2 성장 함수의 분모 다항식 $Q_{\ell,m,n}(t)$ 가 2-세일름 다항식의 근 분포를 보이도록 붙임 매개변수 $(\ell,m,n)$ 에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 성장률이 2-세일름 수인 코컴팩트 하이퍼볼릭 코젠터 군이 $\mathbb{H}^4$ 내에서 무한히 많은가?
• RQ4 기약성과 근 분포를 분석하여 다항식의 2-세일름 성질을 확인하기 위해 어떤 방법을 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 압축된 코zens터 4단체 $T$ 를 수직 면에 따라 붙임으로써, 코컴팩트 하이퍼볼릭 코젠터 군의 성장률로서 무한히 많은 2-세일름 수가 $\mathbb{H}^4$ 내에서 실현됨.
• 유형 B 면에 따라 $n+1$ 개의 $T$ 를 붙여 만든 도미노 가족에서 $(\ell,m,n) = (0,n,n)$ 이면, $Q_{0,n,n}(t)$ 는 $n \equiv 1 \pmod{3}$ 이면 4차 단위 다항식의 인수가 존재하지 않으며, 이는 2-세일름 수의 구조를 지지함.
• 유사하게, 유형 A 면에 따라 $(\ell,m,n) = (n,0,n)$ 이면 $Q_{n,0,n}(t)$ 는 $n \equiv 1 \pmod{3}$ 이면 동일한 인수의 부재를 보이며, 동일한 구조적 제약 조건을 확인함.
• 디오판틴 방정식계 $f_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ 와 $g_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ 에 대해 모듈로 3 분석을 통해 $n \equiv 1 \pmod{3}$ 일 때 정수 해가 존재하지 않음을 보여, 부당한 대칭 인수의 존재를 배제함.
• 지정된 가족에 대해 분모 다항식 $Q_{\ell,m,n}(t)$ 는 단위원 위에 모든 근이 있고, 나머지 두 쌍의 실수 역수 근을 제외한 나머지 근들이 단위원 위에 존재함을 확인함으로써, 2-세일름 다항식의 정의를 충족함.
• 주요 결과는 $(\ell,m,n)$ 에 특정 제약 조건을 두었을 때 도출되었으며, 이에 따라 해당 코젠터 군의 성장률이 2-세일름 수임을 증명함.