[논문 리뷰] Gruss-type inequality by mean of a fractional integral

J. Vanterler da C. Sousa, D. S. Oliveira외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 28.

Mathematical Inequalities and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Riemann-Liouville, Hadamard 및 기타 형태를 통합하는 Katugampola의 분수적 적분을 사용하여 Grüss 유형의 적분 부등식을 일반화한다. 유계 함수에 이 연산자를 적용함으로써 고전적인 Grüss 경계를 확장하는 새로운 부등식을 도출하였으며, Cauchy-Schwarz 및 AM-GM 유형의 추정을 통해 타당성이 입증되어 분수적 미적분의 맥락에서 더 날카운 오차 경계를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, using a fractional integral as proposed by Katugampola we establish a generalization of integral inequalities of Gruss-type. We prove two theorems associated with these inequalities and then immediately we enunciate and prove others inequalities associated with these fractional operator.

연구 동기 및 목표

• Katugampola의 일반화된 분수적 적분 연산자를 사용하여 고전적인 Grüss 유형의 부등식을 분수적 미적분의 프레임워크로 확장하는 것.
• Riemann-Liouville, Hadamard, Erdélyi-Kober 등 여섯 가지 알려진 분수적 적분을 하나의 연산자로 통합하여 더 넓은 적용 가능성을 확보하는 것.
• 연산자에 특화된 추정을 통해 개선된 오차 경계를 갖는 새로운 분수적 Grüss 유형의 부등식을 수립하는 것.
• 분수적 맥락에서 다른 고전적 부등식들(예: Hermite-Hadamard)을 일반화하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 매개수화된 커널을 포함하는 $ x^\rho $, $ \tau^\rho $ 및 감마 함수를 사용하여 정의된 Katugampola의 왼쪽 분수적 적분 연산자를 사용한다.
• 적분 가능성과 수렴성을 보장하기 위해 $ L^p $-유사 노름 하에서의 공간 $ X_c^p(a,b) $ 내에서 작동한다.
• $ (f(t) - mg(t))(Mg(t) - f(t)) \geq 0 $ 부등식을 적용하여 $ {}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}(fg)(x) $ 에 대한 경계를 유도한다.
• 분수적 적분 형태에 대해 Cauchy-Schwarz 및 AM-GM 부등식을 적용하여 $ \left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}f^2\right)\left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}g^2\right) $ 의 상한을 도출한다.
• 핵심 경계를 유도한다: $ \left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}f^2\right)\left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}g^2\right) \leq \frac{(M+m)^2}{4} \left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}fg\right)^2 $.
• 대수적 변환과 극한 경우를 통해 결과를 검증하였으며, 특수한 경우로 Riemann-Liouville 경계를 복원하여 기존 이론과의 일관성을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Katugampola의 분수적 적분 연산자를 사용하여 Grüss 유형의 부등식을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 고전적인 Grüss 부등식의 경계는 분수적 적분 하에서 어떻게 변하는가?
• RQ3 유계 함수 가정 하에 분수적 Grüss 부등식의 가장 날카운 오차 경계는 무엇인가?
• RQ4 분수적 적분 형태에 대해 Cauchy-Schwarz 및 AM-GM 추정을 적용하여 분수적 Grüss 부등식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 Riemann-Liouville 또는 Hadamard와 같은 알려진 분수적 적분으로 축소할 때 새로운 부등식의 극한 경우는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 새로운 분수적 Grüss 유형의 부등식을 수립한다: $ \left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}f^2\right)\left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}g^2\right) \leq \frac{(M+m)^2}{4} \left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}fg\right)^2 $, 이는 고전적 결과를 일반화한다.
• 분수적 적분의 커널 구조와 매개수 의존성에 따라 고전적 버전보다 더 날카운 경계를 달성한다.
• 경계 $ \frac{(M+m)^2}{4} $ 는 분수적 형태에서도 유지되며, 이는 일반화된 연산자 하에서도 고전적 극값 행동이 유지됨을 나타낸다.
• 두 번째 부등식을 도출한다: $ \sqrt{\left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}f^2\right)\left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}g^2\right)} - \left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}fg\right) \leq \frac{(\sqrt{M} - \sqrt{m})^2}{2\sqrt{mM}} \left({}^\rho\mathcal{I}_{\eta,\kappa}^{\alpha,\beta}fg\right) $, 이는 상대 오차 추정을 제공한다.
• 결과는 $ \rho \to 1 $, $ \beta = \alpha $, $ \kappa = 0 $, $ \eta = 0 $ 일 때 고전적 Grüss 부등식으로 축소되며, 기존 이론과의 일관성을 확인한다.
• 이 틀은 향후 분수적 맥락에서 Hermite-Hadamard 및 Hermite-Hadamard-Fejér 부등식의 일반화를 가능하게 한다.