[논문 리뷰] Guaranteed Control of Sampled Switched Systems using Semi-Lagrangian Schemes and One-Sided Lipschitz Constants

Adrien Le Coënt, Laurent Fribourg|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 14.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일방적 리프시츠(One-Sided Lipschitz, OSL) 상수를 활용하여 올리에르 근사 궤적과 정확한 궤적 간의 이탈을 제한함으로써 샘플링된 스위치 시스템에 대해 안전성과 도달 가능성 보장을 보장하는 준라그랑주 방법을 제시한다. 이 방법은 격자 상태공간을 통한 제어 전략 합성 시, 격자 노드 근처의 초기 상태에 대해 형식적으로 정확한 보장을 보장하며, OSL 기반 오차 추정을 통해 안전성과 포착을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a new method for ensuring formally that a controlled trajectory stay inside a given safety set S for a given duration T. Using a finite gridding X of S, we first synthesize, for a subset of initial nodes x of X , an admissible control for which the Euler-based approximate trajectories lie in S at t $\in$ [0,T]. We then give sufficient conditions which ensure that the exact trajectories, under the same control, also lie in S for t $\in$ [0,T], when starting at initial points 'close' to nodes x. The statement of such conditions relies on results giving estimates of the deviation of Euler-based approximate trajectories, using one-sided Lipschitz constants. We illustrate the interest of the method on several examples, including a stochastic one.

연구 동기 및 목표

• 유한 시간 영역 내에서 궤적이 안전 집합 내에 머무르도록 보장하는 형식적 검증된 제어 합성 방법을 개발하는 것.
• 표준 리프시츠 상수 대신 일방적 리프시츠(One-Sided Lipschitz, OSL) 상수를 사용하여 도달 가능성 분석에서의 과대근사 오차를 감소시키는 것.
• 불확실성과 적대적 동역학 하에서 형식적 보장을 유지하면서 이 방법을 확률적 미분방정식과 미분 게임으로 확장하는 것.
• 올리에르 기반 궤적에서 유도된 근사 제어 전략이 격자 노드 근처에서 시작하는 정확한 궤적에 대해 안전성을 보장할 수 있는 충분조건을 제공하는 것.
• 콤���한 상태공간에서 격자화와 값 반복을 통해 효율적이고 확장 가능한 제어 합성을 가능하게 하되, OSL 기반 오차 한계를 통한 형식적 정확성 보장을 유지하는 것.

제안 방법

• 안전 집합 𝒮 위에 유한한 격자를 사용하여 상태공간을 이산화하고, 준라그랑주(SL) 방법을 통해 사전에 허용 가능한 제어 패tern을 계산한다.
• 각 격자 노드에 대해 후보 제어 입력 하에 올리에르 근사 궤적을 계산하고, 각 샘플링 간격 τ 동안 궤적이 𝒮 내에 머무르는지 확인한다.
• 일방적 리프시츠(OSL) 상수 λₐ를 사용하여 올리에르 근사 궤적과 정확한 궤적 간의 이탈을 제한함으로써, 근사 제어 보장을 정확한 동역학으로 형식적으로 확장할 수 있도록 한다.
• 근사 궤적이 𝒮 내에 머무르면, 초기 격자 노드 근처에서 시작하는 정확한 궤적이 전체 시간 영역 동안 𝒮 내에 머무르도록 보장하는 충분조건을 도출한다.
• 최적화된 제어 행동에 대한 역행 추정을 통해 최대-최소 최적화를 사용하여 가치 함수를 계산함으로써 안전성과 목표 집합 향한 도달성을 보장한다.
• 이 방법은 OSL 기반 오차 추정을 적대적 및 확률적 동역학에 맞게 조정하여 이중 플레이어 미분 게임과 확률적 ODE로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일방적 리프시츠(OSL) 상수를 사용하여 스위치 시스템에서 올리에르 근사 궤적과 정확한 궤적 간의 오차를 형식적으로 제한할 수 있는가?
• RQ2 올리에르 근사 궤적을 위한 제어 전략이 정확한 궤적에 대해 안전성을 보장할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 OSL 기반 오차 추정을 준라그랑주 방법에 통합하여 형식적으로 정확한 제어 합성을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 확률적 미분방정식과 이중 플레이어 미분 게임으로 확장될 수 있으며, 형식적 안전성과 도달 가능성 보장을 유지할 수 있는가?
• RQ5 OSL 오차 한계 하에서 형식적 정확성을 유지할 때 격자 해상도와 계산 비용 간의 상충 관계는 무엇인가?

주요 결과

• OSL 기반 충분조건이 만족되면, 격자 노드에서 ε 거리 이내의 임의의 초기 상태에 대해 정확한 궤적이 전체 시간 영역 T 동안 안전 집합 𝒮 내에 머무른다.
• 표준 리프시츠 상수보다 OSL 상수를 사용할 경우, 강성 있는 시스템에서 더 날카운 오차 추정을 제공하여 이 방법의 적용 가능성을 향상시킨다.
• 2탱크 시스템 예제에서, 이 방법은 시간 영역 전체 동안 안전 범위 내에 유지되는 제어를 성공적으로 합성하였다.
• 확률적 ODE 확장에서는 OSL 기반 오차 추정을 사용하여 올리에르-마루야마 근사에 기반한 형식적으로 안전한 제어 전략을 제공하였다.
• 태그-도망 미분 게임에서, 이 방법은 66단계 내에 추적자를 0.7 단위 이내로 접근시켰으며, 68단계 이후 주기적 순환(주기 길이 16)을 관찰하였다.
• 시뮬레이션 실험은 CPU 시간 534초가 소요되었으며, 각 차원당 N=10개의 노드와 ε=0.31를 사용한 4차원 상태공간에서의 실행 가능성을 입증하였다.