[논문 리뷰] Guaranteed Transient Performance with $\mathcal{L}_1$ Adaptive Controller for Systems with Unknown Time-varying Parameters: Part I

Chengyu Cao, Naira Hovakimyan|ArXiv.org|2006. 08. 15.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 미지의 파rameter와 유계의 외란이 있는 시스템에서 입력 및 출력 신호의 일관되게 유계인 일시적 성능을 보장하는 $δ_1$ 적응 제어 아키텍처를 제시한다. 적응 이득을 증가시킴으로써 추적 오차의 $δ_\infty$ 노름 범위를 체계적으로 감소시켜, 시간 지연 여유를 떨어뜨리지 않으면서도 개선된 일시적 및 渐진적 성능을 확보한다.

ABSTRACT

This paper presents a novel adaptive control methodology for uncertain systems with time-varying unknown parameters and time-varying bounded disturbance. The adaptive controller ensures uniformly bounded transient and asymptotic tracking for system's both signals, input and output, simultaneously. The performance bounds can be systematically improved by increasing the adaptation gain. Simulations of a robotic arm with time-varying friction verify the theoretical findings.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 파rameter를 가진 시스템의 적응 제어에서 제어 신호에 대해 보장된 일시적 성능의 부족을 해결한다.
• 기존 방법에서 적응 이득을 증가시킬 경우 발생하는 고주파 제어 신호 진동 문제를 해결한다.
• 시스템의 입력 및 출력 신호에 대해 동시에 일관되게 유계인 일시적 응답을 확보한다.
• 적응 이득을 증가시킴으로써 성능 경계를 체계적으로 향상시킬 수 있는 방법을 제공한다.
• 기존의 적응 제어 방법과는 달리 시간 지연 여유 안정성을 유지한다.

제안 방법

• 피드백 루프에 저역통과 필터를 포함한 새로운 $δ_1$ 적응 제어 아키텍처를 도입하여 제어 신호의 고주파 성분을 감쇠시킨다.
• 입력 및 출력 신호가 성능 기준이 되는 참조 선형 정수계(LTI) 시스템을 설계한다.
• $δ_1$ 이득 분석을 사용하여 적응 시스템과 참조 LTI 시스템 간 오차의 $δ_\infty$ 노름을 경계한다.
• 폐쇄 루프 시스템을 시간에 따라 변하는 불확실성과 외란을 포함한 변형된 LTI 시스템으로 공식화한다.
• $G(s)$가 감도 함수이고 $L$이 불확실성 집합을 경계하는 조건 $\|G(s)\|_{\mathcal{L}_1}L < 1$을 사용하여 $δ_1$ 안정성을 검증한다.
• $\omega k > 30$ 조건을 만족시키기 위해 고적응 이득 $\Gamma_c = 10000$과 이득 $k = 60$을 사용하여 컨트롤러를 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 파rameter를 가진 시스템에서 단일 적응 제어 아키텍처가 입력 및 출력 신호에 대해 일관되게 유계인 일시적 성능를 보장할 수 있는가?
• RQ2 적응 이득을 증가시킴으로써 $δ_\infty$ 노름 경계를 체계적으로 감소시킬 수 있으며, 이로 인해 시스템의 강인성은 떨어지지 않는가?
• RQ3 고적응 이득 조건에서도 제어 신호는 매끄럽고 저주파 성분을 유지할 수 있는가, 고주파 진동을 피할 수 있는가?
• RQ4 $δ_1$ 아키텍처에서 적응 이득을 증가시켜도 시간 지연 여유가 유지되는가, 기존의 적응 제어 방법과는 대조되는가?
• RQ5 시간에 따라 변하는 마찰력이 있는 로봇 시스템과 같은 비선형성과 급격히 변화하는 외란 조건에서 컨트롤러는 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• $δ_1$ 적응 제어기는 입력 및 출력 신호에 대해 일관되게 유계인 일시적 응답을 보장하며, 적응 이득을 증가시킴으로써 $δ_\infty$ 노름 오차 경계를 체계적으로 감소시킬 수 있다.
• 시간에 따라 변하는 마찰력이 있는 로봇 암 시뮬레이션에서, 참조 신호 $r(t) = \cos(\pi t)$에 대한 거의 완벽한 추적 성능를 달성하였으며, 그림 4(a), 5(a), 6(a)에서 $x_1(t)$와 $\hat{x}_1(t)$는 거의 구분되지 않았다.
• 빠르게 변화하는 외란, 예를 들어 $\sigma(t) = \cos(x_1(t)) + 2\sin(100t) + \cos(150t)$ 조건에서도 제어 신호 $u(t)$는 매끄럽고 고주파 진동 없이 유지되었으며, 그림 6(b)에서 확인할 수 있었다.
• $δ_1$ 안정성 조건 $\|G(s)\|_{\mathcal{L}_1}L < 1$는 $\omega k > 30$ 조건에서 만족되었으며, $\omega > 0.5$ 이면 $k = 60$으로 설정하여 안정성을 확보하였다.
• 시뮬레이션 결과는 컨트롤러의 성능이 설계된 외란의 주파수 성분과 일치함을 확인하였으며, 효과적인 외란 제거 성능를 입증하였다.
• 이 방법은 제안된 증명에 따라 보장된 일시적 성능와 시간 지연 여유를 유지한다. 이는 기존 방법과는 대조적으로 고적응 이득 조건에서 위상 여유가 감소하는 문제를 겪지 않는다.