[논문 리뷰] Guidable Local Hamiltonian Problems with Implications to Heuristic Ansatz State Preparation and the Quantum PCP Conjecture

Jordi Weggemans, Marten Folkertsma외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 22.

Bayesian Modeling and Causal Inference인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 지도 상태가 존재함이 보장되지만 제공되지 않는 '지시 가능한 국소 해밀토니안' 문제를 도입하고, 양자 및 고전 계산과의 복잡도 관계를 규명한다. 이러한 문제들이 역다항정밀도 하에서는 QCMA-완전함을 증명하지만, 지도 상태가 고전적으로 평가 가능할 경우 NP에 속함을 보이며, 양자 앤사츠 준비와 양자 PCP 추측에 대한 새로운 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

We study 'Merlinized' versions of the recently defined Guided Local Hamiltonian problem, which we call 'Guidable Local Hamiltonian' problems. Unlike their guided counterparts, these problems do not have a guiding state provided as a part of the input, but merely come with the promise that one exists. We consider in particular two classes of guiding states: those that can be prepared efficiently by a quantum circuit; and those belonging to a class of quantum states we call classically evaluatable, for which it is possible to efficiently compute expectation values of local observables classically. We show that guidable local Hamiltonian problems for both classes of guiding states are $\mathsf{QCMA}$-complete in the inverse-polynomial precision setting, but lie within $\mathsf{NP}$ (or $\mathsf{NqP}$) in the constant precision regime when the guiding state is classically evaluatable. Our completeness results show that, from a complexity-theoretic perspective, classical Ansätze selected by classical heuristics are just as powerful as quantum Ansätze prepared by quantum heuristics, as long as one has access to quantum phase estimation. In relation to the quantum PCP conjecture, we (i) define a complexity class capturing quantum-classical probabilistically checkable proof systems and show that it is contained in $\mathsf{BQP}^{\mathsf{NP}[1]}$ for constant proof queries; (ii) give a no-go result on 'dequantizing' the known quantum reduction which maps a $\mathsf{QPCP}$-verification circuit to a local Hamiltonian with constant promise gap; (iii) give several no-go results for the existence of quantum gap amplification procedures that preserve certain ground state properties; and (iv) propose two conjectures that can be viewed as stronger versions of the NLTS theorem. Finally, we show that many of our results can be directly modified to obtain similar results for the class $\mathsf{MA}$.

연구 동기 및 목표

• 지도 상태가 존재함이 보장되지만 제공되지 않는 국소 해밀토니안 문제의 복잡도를 조사하며, 두 유형에 초점을 맞춘다: 양자 회로로 효율적으로 준비 가능한 양자 상태와 고전적으로 평가 가능한 상태.
• 이러한 문제들이 히우리스틱 양자 앤사츠 상태 준비, 특히 양자 위상 추정의 맥락에서 어떤 함의를 갖는지 탐색한다.
• 양자 PCP 추측과의 연결 고리를 분석하며, 기존의 양자 감소를 탈양자화할 수 있는지와 갭 강화 절차의 존재 여부를 고려한다.
• NLTS 정리의 더 강력한 버전, 예를 들어 NLCES 및 강력한-NLCES 추측을 제안하고 분석하여, 양자 PCP 추측을 증명하는 잠재적 길로 삼는다.

제안 방법

• 지침 상태의 존재가 보장되지만 입력으로 주어지지 않는 '지시 가능한 국소 해밀토니안'(g-LH) 문제를 프ом프스 기반 변형으로 도입한다.
• 지침 상태의 두 유형을 분석한다: 양자 회로로 효율적으로 준비 가능한 상태(결과적으로 QCMA-완전성)와 고전적으로 평가 가능한 상태(상수 정밀도 하에서 문제는 NP에 속함).
• 스펙트럼 강화 기법을 적용하여, 고전적으로 평가 가능한 상태의 경우 저에너지 부분공간을 고전적으로 효율적으로 특성화할 수 있음을 보이며, NP에의 포함성을 가능하게 한다.
• 양자-고전적 확률적 확인 가능 증명(QCPCP)을 위한 복잡도 클래스를 개발하며, 상수 정밀도의 증거 질의를 갖는 QCPCP는 BQPNP[1]에 포함됨을 보여준다.
• 양자-고전적 갭 강화에 대한 금지 정리들을 증명하여, 고전적으로 평가 가능한 성질을 유지하는 모든 그러한 절차는 QCMA를 NP로 축소시킬 것임을 보인다.
• NLTS보다 더 강력한 NLCES 및 강력한-NLCES 추측을 제안하고 분석하며, 이들이 양자 PCP 추측의 타당성과 연결됨을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지침 상태가 고전적으로 평가 가능한 경우, 상수 정밀도 하에서 지시 가능한 국소 해밀토니안 문제의 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ2 QPCP 검증 회로에서 국소 해밀토니안으로의 기존 양자 감소를 고전적 수단으로 탈양자화할 수 있는가? 이는 복잡도 클래스의 붕괴 없이 가능할까?
• RQ3 지침 상태의 고전적 평가 가능성을 유지하는 양자 갭 강화 절차에 근본적인 장애물이 존재하는가?
• RQ4 고전적으로 평가 가능한 지침 상태가 양자 PCP 추측에 어떤 함의를 갖는가? 이는 NLTS 정리의 더 강력한 형태로 이어질 수 있는가?
• RQ5 QCMA에 대한 결과는 MA 복잡도 클래스로 어떻게 확장될 수 있으며, 이에 해당하는 PCP 문장은 무엇인가?

주요 결과

• 지침 상태가 고전적으로 평가 가능한 경우, 상수 정밀도 하에서 지시 가능한 국소 해밀토니안 문제들은 NP(또는 NqP)에 속하지만, 역다항정밀도 하에서는 QCMA-완전하다.
• 논문은 고전적 히우리스틱으로 선택된 고전적 앤사츠가, 양자 위상 추정이 가능할 경우 양자 히우리스틱으로 준비된 양자 앤사츠와 계산적으로 동등한 능력을 갖는다는 것을 증명한다.
• 다항시간 고전적 감소가 역다항정밀도 갭을 갖는 고전적으로 지도 가능한 국소 해밀토니안 문제에서 상수 갭 버전으로 이어진다면, QCMA = NP임을 의미함을 보였다.
• 역다항정밀도에서 상수 갭으로의 준다항시간 고전적 감소는 QCMA ⊆ NqP를 암시하며, 이는 매우 불가능한 것으로 간주된다.
• 논문은 NLCES 추측을 제안하며, 이는 어떤 고전적으로 평가 가능한 상태도 국소 해밀토니안 가중치의 기저 상태 에너지에 가까운 에너지를 가질 수 없다는 것을 주장한다.
• 강력한-NLCES 추측은 이를 더욱 강화하여, 어떤 고전적으로 평가 가능한 상태도 저에너지 부분공간과의 오버랩이 o(1/poly(n))의 속도로 감소함을 요구함으로써, 탈양자화에 대한 더 견고한 장벽을 제공한다.