[논문 리뷰] H^1 and BMO for certain nondoubling metric measure spaces

Antonella Carbonaro, Giancarlo Mauceri외 1명|ArXiv.org|2008. 08. 01.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 41인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 전반적으로 비이중성이고 국소적으로 이중성인 메트릭 측도 공간에서 기하적 조건(등각성 및 근사 중점 성질 포함) 하에 원자형 하르디 공간 $H^1$과 이에 대응하는 $BMO$ 공간을 개발한다. $H^1$과 $BMO$ 간의 쌍대성, 작은 구간에서의 존-니레버그 부등식, 그리고 $H^1$에서 $L^1$으로, $L^\frown$에서 $BMO$로의 특이 적분의 유계성 등을 확립하여, 이중성 측도를 초월한 고전 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Suppose that (M,d,m) is an unbounded metric measure space, which possesses two geometric properties, called "isoperimetric property" and "approximate midpoint property", and that the measure m is locally doubling. The isoperimetric property implies that the volume of balls grows at least exponentially with the radius. Hence the measure m is not globally doubling. In this paper we define an atomic Hardy space H1(m), where atoms are supported only on "small balls", and a corresponding space BMO(m) of functions of bounded mean oscillation, where the control is only on the oscillation over small balls. We prove that BMO(m) is the dual of H1(m) and that an inequality of John-Nirenberg type on small balls holds for functions in BMO(m). Furthermore, we show that the Lp(m) spaces are intermediate spaces between H1(m) and BMO(m), and we develop a theory of singular integral operators acting on function spaces on M. Finally, we show that our theory is strong enough to give H1(m)-L1(m) and L1(m)-BMO(m) estimates for various interesting operators on Riemannian manifolds and symmetric spaces which are unbounded on L1(m) and on L\infty(m).

연구 동기 및 목표

• 이중성 측도가 아닌 국소적으로 이중성인 메트릭 측도 공간으로 고전적 $H^1$ 및 $BMO$ 이론을 확장하는 것.
• 작은 구간(반지름 ≤ b)만을 사용하여 원자 및 진동 기반 정의를 비이중성 설정에 적응시켜 $H^1$ 및 $BMO$ 공간을 정의하는 것.
• $H^1$과 $BMO$ 간의 쌍대성과 작은 구간에 국한된 존-니레버그 부등식을 확립하는 것.
• 실 및 복소 보간 하에서 $L^p$ 공간이 $H^1$과 $BMO$ 사이의 중간 공간이 되도록 하는 것.
• 리프스 변환 및 푸리에 다항식 연산자와 같은 특이 적분 연산자가 이러한 공간에서 $H^1$에서 $L^1$으로, $L^\frown$에서 $BMO$로 유계가 되도록 보여주는 것.

제안 방법

• 반지름이 $b$ 이하인 구간에 국한하여 원자 및 진동 제어를 사용해 $H^1_b(\mu)$ 및 $BMO_b(\mu)$를 정의함으로써 척도에 따라 달라지지 않지만 일관된 정의를 확보한다.
• 측도 행동을 제어하기 위해 등각성 성질(지수적 체적 증가)과 근사 중점 성질(AMP)을 기하학적 가정으로 도입한다.
• $H^1_b(\mu)$ 및 $BMO_b(\mu)$가 척도 $b$에 독립적임을 증명하여 정의의 강건성을 확보한다.
• 이중 분해와 커프 함수 $\psi$ 및 $1-\psi$를 통한 커널 국소화를 통해 연산자를 국소 및 전역 부분으로 분리한다.
• 정리 8.2의 커널 조건 $\nu_t < \infty$ 및 $\upsilon_t < \infty$를 검증하여 국소화된 연산자 $\mathcal{T}_{k_0}$의 유계성을 확립한다.
• 튜브 $\mathbf{T}$에서의 미클린–호르마이더 다항식 조건을 적용하여 $L^2$ 유계성을 확보하고, 보간 및 쌍대성에 의해 $H^1$–$L^1$ 및 $L^\frown$–$BMO$ 유계성으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전반적으로 비이중성이고 국소적으로 이중성인 메트릭 측도 공간에서 잘 정의된 $H^1$–$BMO$ 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 측도가 전반적으로 이중성이 아니지만 기하적 제약 조건이 있을 경우, $H^1$과 $BMO$ 간의 쌍대성이 유지되는가?
• RQ3 비이중성 설정에서 작은 구간(반지름 ≤ b)에 국한하여 $BMO$ 함수에 대해 존-니레버그 부등식을 확립할 수 있는가?
• RQ4 이 설정 하에서 실 및 복소 보간 하에서 $L^p$ 공간이 $H^1$과 $BMO$ 사이의 중간 공간이 되는가?
• RQ5 리프스 변환 및 푸리에 다항식 연산자와 같은 특이 적분 연산자가 이러한 공간에서 $H^1$에서 $L^1$으로, $L^\frown$에서 $BMO$로 유계가 되는가?

주요 결과

• $H^1_b(\mu)$ 및 $BMO_b(\mu)$는 척도 매개변수 $b$에 독립적이며, 다양한 척도 간 일관성을 보장한다.
• $H^1(\mu)$의 쌍대 공간은 $BMO(\mu)$와 등장사상적으로 이sovolumetric하다. 이는 이중성 공간에서의 고전적 쌍대성의 확장이다.
• 기하학적 가정 하에, 반지름이 $b$ 이하인 작은 구간에 국한하여 $BMO(\mu)$에 속하는 함수에 대해 존-니레버그 부등식이 성립한다.
• 실 및 복소 보간 하에서 $p \in (1,\infty)$인 $L^p(\mu)$ 공간은 $H^1(\mu)$와 $BMO(\mu)$ 사이의 중간 공간이다.
• 순서 $\kappa > (\dim X)/2 + 1$인 미클린–호르마이더 다항식을 갖는 특이 적분 연산자는 $H^1(\mu)$에서 $L^1(\mu)$로, $L^\frown(\mu)$에서 $BMO(\mu)$로 유계이다.
• 국소화된 리프스 변환 $\nabla(\mathcal{L}+\varepsilon)^{-1/2}$은 $H^1(\mu)$에서 $L^1(\mu)$로 유계 연산자로 확장되며, 등각성 성질이 성립할 경우 $p \in (1,2)$에 대해 $L^p$ 유계성으로 보간된다.