[논문 리뷰] H-Convex Riemannian Submanifolds

Constantin Udrişte, Tudor I. Oprea|ArXiv.org|2005. 11. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 계수를 가진 리만 부분다양체에 대해 단위법선벡터를 평균 곡률벡터로 대체함으로써 H-볼록성의 개념을 도입한다. 이는 제2 기본형과 평균 곡률을 포함하는 이차형식의 양성에 의한 특성화를 수립하며, 주요 기여는 엄격한 H-볼록성에 대한 충분조건을 제시하는 것이다: 평균 곡률에 관련된 웨잉아르텐 연산자가 정의된 경우, 부분다양체는 엄격한 H-볼록성을 띤다. 이는 고차원 계수로의 고전적 볼록성 개념의 일반화이자 곡률 조건과 기하학적 볼록성 간의 연결고리이다.

ABSTRACT

Having in mind the well known model of Euclidean convex hypersurfaces [4], [5], and the ideas in [1] many authors defined and investigate convex hypersurfaces of a Riemannian manifold. As it was proved by the first author in [7], there follows the interdependence between convexity and Gauss curvature of the hypersurface. In this paper we define $H$-convexity of a Riemannian submanifold of arbitrary codimension, replacing the normal versor of a hypersurface with the mean curvature vector $H$. A characterization, used by B.Y. Chen [2], [3] as the definition of strictly $H$-convexity, it is obtained.

연구 동기 및 목표

• 리만 다양체 내에서 임의의 계수를 가진 부분다양체로 볼록성 개념을 일반화하기 위해.
• 단위 법선벡터를 평균 곡률벡터장으로 대체함으로써 H-볼록성을 정의하기 위해.
• 제2 기본형과 평균 곡률을 포함하는 이차형식의 양성에 기반한 H-볼록성에 대한 필수 및 충분 조건을 수립하기 위해.
• H-볼록성과 곡률 불변량, 특히 실공간형에서의 k차 순서 리치 곡률 간의 관계를 연결하기 위해.
• 영이 아닌 평균 곡률을 가진 곡선이 항상 엄격한 H-볼록 부분다양체임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 지오데식 맵과 실수값 함수 F(y) = ω_x(exp_x^{-1}(y))를 이용해 점 x에서 H-볼록성을 정의한다. 여기서 ω는 평균 곡률벡터 H와 관련된 1형식이다.
• F의 영점으로서의 전적으로 기하학적 초곡면 TGH_x를 도입하며, 이는 주변을 TGH_x^-와 TGH_x^+로 분할한다.
• 필요 조건을 수립: M이 점 x에서 H-볼록이라면, 이차형식 Ω_x(X,Y) = g(h(X,Y), H)는 준양성적이다.
• Ω_x가 정의된 경우, M이 점 x에서 엄격한 H-볼록성을 띤다는 것을 증명한다. 이는 M에 제한된 F의 헤시안을 이용한다.
• H에 관련된 웨잉아르텐 연산자 A_H를 사용하여 Ω_x의 정의성 특성을 특성화한다.
• 실공간형에 결과를 적용하여 H-볼록성과 k차 순서 리치 곡률 θ_k(x) 및 평균 곡률을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 곡면에 대한 볼록성 개념을 리만 다양체 내에서 임의의 계수를 가진 부분다양체로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 고차원 계수를 가진 부분다양체의 볼록성 정의에서 단위 법선벡터의 적절한 대체는 무엇인가?
• RQ3 제2 기본형과 평균 곡률벡터에 대한 어떤 조건에서 부분다양체가 H-볼록성 또는 엄격한 H-볼록성을 띠는가?
• RQ4 H-볼록성은 실공간형에서의 k차 순서 리치 곡률과 같은 곡률 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 영이 아닌 평균 곡률을 가진 곡선은 항상 엄격한 H-볼록 부분다양체인가?

주요 결과

• 부분다양체 M이 점 x에서 H-볼록임과 동시에 이차형식 Ω_x(X,Y) = g(h(X,Y), H)가 준양성적임은 필수 및 충분 조건이다.
• 이차형식 Ω_x가 정의된 경우, 부분다양체 M은 점 x에서 엄격한 H-볼록성을 띤다.
• 영이 아닌 평균 곡률을 가진 곡선은 이차형식 Ω가 정의되므로 엄격한 H-볼록 부분다양체이다.
• 곡률 c를 가진 실공간형에서, 어떤 k ∈ [2,n]에 대해 k차 순서 리치 곡률 θ_k(x) > c 이면, 부분다양체는 점 x에서 엄격한 H-볼록성을 띤다.
• 실공간형에서 곡면의 경우, 점 x에서 엄격한 H-볼록성이 성립하면 점 x의 평균 곡률이 c를 초과하며, 따라서 모든 k ∈ [2,n]에 대해 θ_k(x) > c 이다.
• 웨잉아르텐 연산자 A_H가 정의되는 것과 동시에 이차형식 Ω_x가 정의되는 것은 필수 및 충분 조건이며, 이는 H-볼록성의 스펙트럼적 특성화를 제공한다.