[논문 리뷰] H infinity Analysis Revisited

Seungil You, Ather Gattami|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 15.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제어 가능성을 요구하지 않는 칼만–야쿠보비치–포포프(Kalman–Yakubovich–Popov, KYP) 보조정리의 사용을 피하고, 선형 시간 불변(LTI) 시스템에 대한 $H_\infty$ 노름 계산을 위한 새로운 직접적 접근법을 제안한다. 이는 정규화된 이중성(duality)을 보장하며, 유한 주파수 대역에 제한된 입력 신호를 고려한 새로운 보조정리 기반의 정수형 프로그래밍(SDP) 설정을 통해 일반화된다. 또한, $H_\infty$ 노름을 달성하는 정현파 입력 신호를 명시적으로 재구성할 수 있다.

ABSTRACT

This paper proposes a direct, and simple approach to the H infinity norm calculation in more general settings. In contrast to the method based on the Kalman-Yakubovich-Popov lemma, our approach does not require a controllability assumption, and returns a sinusoidal input that achieves the H infinity norm of the system including its frequency. In addition, using a semidefinite programming duality, we present a new proof of the Kalman- Yakubovich-Popov lemma, and make a connection between strong duality and controllability. Finally, we generalize our approach towards the generalized Kalman-Yakubovich-Popov lemma, which considers input signals within a finite spectrum.

연구 동기 및 목표

• 선형 시간 불변(LTI) 시스템에서 제어 가능성 조건 없이 $H_\infty$ 노름을 계산하는 직접적이고, 제어 가능성에 의존하지 않는 방법을 개발하는 것.
• 기존의 KYP 보조정리로는 불가능한, $H_\infty$ 노름을 달성하는 정현파 입력 신호를 최적화 해답으로부터 명시적으로 재구성하는 것.
• 저주파, 중주파, 고주파 범위로 제한된 입력 신호를 갖는 시스템으로 이 방법을 일반화하는 것.
• 정수형 프로그래밍의 강한 이중성과 시스템의 제어 가능성 간의 관계를 규명하는 것.
• 정수형 프로그래밍 이중성의 관점에서 KYP 보조정리를 새롭게 증명하는 것.

제안 방법

• 상태 및 입력 신호의 공분산 행렬 $V$를 사용하여 $H_\infty$ 분석을 정수형 프로그래밍(SDP)으로 재구성함으로써, 무한차원 최적화 문제를 유한차원의 SDP 문제로 변환하는 것.
• 시스템 동역학과 전력 노름 제약 조건으로부터 $V$에 대한 제약 조건을 유도하여 원래의 $H_\infty$ 문제와 동치임을 보장하는 것.
• 라그랑주 이중성 기반으로 SDP 설정의 정확성을 입증하고, 제어 가능성 여부와 관계없이 강한 이중성이 성립함을 보여주는 것.
• 최적의 $V$ 해답에서 최적의 정현파 입력 신호를 재구성하기 위해 유니터리 행렬 분해 기법을 도입하는 것.
• 입력 스펙트럼을 이동시키는 변환을 통해 주파수 영역을 변형하고, 동일한 SDP 프레임워크를 적용함으로써 유한 주파수 대역 제약 조건을 갖는 시스템으로 방법을 일반화하는 것.
• 스펙트럼 제약 조건 $U + U^* \succeq 2\cos\theta I$ 하에서 필요한 유니터리 행렬 $U$를 계산하는 알고리즘 2를 제안함으로써, 입력 신호 복원을 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼만–야쿠보비치–포포프(Kalman–Yakubovich–Popov, KYP) 보조정리와 그 제어 가능성 가정에 의존하지 않고도 $H_\infty$ 노름을 계산할 수 있는가?
• RQ2 최적화 해답으로부터 $H_\infty$ 노름을 달성하는 명시적인 정현파 입력 신호를 재구성할 수 있는가?
• RQ3 SDP 설정에서의 강한 이중성과 시스템의 제어 가능성 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 입력 신호가 유한 주파수 대역에 제한된 시스템의 $H_\infty$ 노름은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 제안된 SDP 이중성 프레임워크로부터 일반화된 KYP 보조정리를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 SDP 설정은 시스템의 제어 가능성 여부에 관계없이 $H_\infty$ 노름을 정확히 계산할 수 있으며, KYP 보조정리의 핵심적인 제약 조건을 극복한다.
• SDP의 최적 해는 $H_\infty$ 노름을 달성하는 정현파 입력 신호를 제공하며, 그 주파수 성분은 해답으로부터 명시적으로 복원 가능하다.
• 논문은 제어 가능성은 강한 이중성의 충분조건이지만 필수 조건은 아니며, 이중성 기반으로 KYP 보조정리를 새롭게 증명함을 규명한다.
• 입력 신호의 주파수 대역을 저주파, 중주파, 고주파로 제한하는 경우, 입력 스펙트럼을 이동시키고 동일한 SDP 프레임워크를 적용함으로써 방법을 일반화할 수 있다.
• 유한 주파수 대역 제약 조건이 있는 경우, 주파수 이동을 적용하고 동일한 SDP 문제를 풀며, 최적 해가 지정된 대역에서의 $H_\infty$ 노름을 제공한다.
• 알고리즘 2는 스펙트럼 제약 조건 하에서 필요한 유니터리 행렬 $U$를 성공적으로 계산하여, 유한 주파수 영역에서 최적 입력 신호를 복원하는 데 기여한다.