[논문 리뷰] $H^\infty$ functional calculus and maximal inequalities for semigroups of contractions on vector-valued $L_p$-spaces

Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 11.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $E$가 UMD 바나흐 라티스일 때 $L_p(X;E)$ 위의 수축 반군에 대해 벡터 값 최대부등식을 수립한다. 정규성과 해석성 조건 하에서 에르고딕 최대함수와 섹터형 최대함수의 유계성을 증명하며, 전이 및 $H^\frown{\text{infty}}$ 함수 해석학 기법을 통해 고전적 최대에르고딕 정리들을 벡터 값 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $\{T_t\}_{t>0}$ be a strongly continuous semigroup of positive contractions on $L_p(X,μ)$ with $10}\frac1t\Big|\int_0^tT_s(f(\cdot,ω))(x)ds\Big|,\quad (x,ω)\in X imesΩ.$$ Then the following maximal ergodic inequality holds $$\big\|\mathcal M(f)\big\|_{L_p(X; E)}\lesssim \big\|f\big\|_{L_p(X; E)},\quad f\in L_p(X; E).$$ If the semigroup $\{T_t\}_{t>0}$ is additionally assumed to be analytic, then $\{T_t\}_{t>0}$ extends to an analytic semigroup on $L_p(X; E)$ and $\mathcal M(f)$ in the above inequality can be replaced by the following sectorial maximal function $$\mathcal T_θ(f)(x, ω)=\sup_{|{ m arg}(z)|0$. Under the latter analyticity assumption and if $E$ is a complex interpolation space between a Hilbert space and a UMD Banach space, then $\{T_t\}_{t>0}$ extends to an analytic semigroup on $L_p(X; E)$ and its negative generator has a bounded $H^\infty(Σ_σ)$ calculus for some $σ

연구 동기 및 목표

• 고전적 덴포드-스미스 최대에르고딕 부등식을 $L_p(X;E)$-값 함수의 설정으로 확장하기 위해.
• E가 UMD 바나흐 라티스일 때 해석 반군에 대해 섹터형 최대함수의 유계성을 확립하기 위해.
• 최대부등식과 해석 반군의 생성자에 대한 유계 $H^\frown{\text{infty}}$ 함수 해석학의 존재 사이의 관계를 조사하기 위해.
• 1 < p < q에 대해 벡터 값 최대부등식의 타당성을 해결하기 위해, 전이를 통해 페퍼만-스타인의 부등식으로 환원함으로써 열린 문제를 해결하기 위해.
• 해석 반군이 $L_p(X)$에서 $L_p(X;E)$로 확장되어 유계 $H^\frown{\text{infty}}$ 해석학을 갖는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 1 < p < q에 대해 벡터 값 최대부등식을 실선 위의 알려진 페퍼만-스타인 부등식으로 환원하기 위해 전이 원리를 활용한다.
• 정규 연산자와 그 $L_p(X;E)$로의 확장을 적용하여, 벡터 값 설정에서 양성 및 지배 성질이 유지됨을 보장한다.
• $H^\frown{\text{infty}}$ 함수 해석학 이론을 UMD 공간에서 응용하여 최대부등식과 함수 해석학의 유계성 사이의 연결을 맺는다.
• 해석 반군이 섹터 $Σ_\theta$로 확장됨을 통해 섹터형 최대함수 유계성을 확립하고, 함수 해석학의 유계성을 이용해 최대부등식을 유도한다.
• $H^\frown{\text{infty}}$ 해석학에서 유도된 제곱함수 부등식을 적용하며, 특히 $\varphi(z) = z e^{-z}$ 함수를 사용하여 제곱함수 내의 시간 도함수 항을 복원한다.
• 특히 $E$가 UMD 바나흐 라티스일 때 $L_p(X;E)$가 비자명한 볼록성과 오목성을 유지한다는 사실을 활용한 보간 및 쌍대성 추론을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 \{T_t\}이 $L_p(X)$ 위의 강한 연속 정규 수축 반군이고 $E$가 UMD 바나흐 라티스일 때, $1 < p < \infty$ 에 대해 $\|\mathcal{M}(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ 형태의 벡터 값 최대부등식이 성립하는가?
• RQ2 \{T_t\}가 해석적이라는 추가 조건 하에서, 에르고딕 최대함수 $\mathcal{M}(f)$를 섹터형 최대함수 $\mathcal{T}_\theta(f)$로 대체할 수 있는가?
• RQ3 E가 힐버트 공간과 UMD 바나흐 공간 사이의 복소 보간 공간일 때, $L_p(X)$ 위의 해석 반군의 음의 생성자가 $L_p(X;E)$ 위에서 어떤 $\sigma < \pi/2$ 에 대해 유계 $H^\infty(\Sigma_\sigma)$ 함수 해석학을 갖는가?
• RQ4 $E$가 UMD 라티스일 때, $L_{1,\infty}(X;E)$ 위에서 $\mathcal{M}(f)$에 대해 약한 유형 $(1,1)$ 최대부등식이 성립하는가?
• RQ5 Banach 공간 $E$에 어떤 조건이 성립할 경우, $L_p(X)$ 위의 해석 반군이 $L_p(X;E)$ 위로 확장되어 유계 $H^\infty$ 해석학을 갖는가?

주요 결과

• $\{T_t\}$가 $L_p(X)$ 위의 강한 연속 정규 수축 반군이고 $E$가 UMD 바나흐 라티스일 때, 모든 $f \in L_p(X;E)$에 대해 최대에르고딕 부등식 $\|\mathcal{M}(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ 가 성립한다.
• 해석 반군의 경우, 섹터형 최대함수 $\mathcal{T}_\theta(f)(x,\omega) = \sup_{|\arg(z)| < \theta} |T_z(f(\cdot,\omega))(x)|$ 는 어떤 $\theta > 0$ 에 대해 $\|\mathcal{T}_\theta(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ 를 만족한다.
• 해석성과 $E$가 힐버트 공간과 UMD 바나흐 공간 사이의 복소 보간 공간일 때, $\{T_t\}$의 생성자는 $L_p(X;E)$ 위에서 어떤 $\sigma < \pi/2$ 에 대해 유계 $H^\infty(\Sigma_\sigma)$ 함수 해석학을 갖는다.
• 제곱함수 부등식 $\left\| \left( \int_0^\infty t \left| \frac{\partial}{\partial t} T_t(f) \right|^2 dt \right)^{1/2} \right\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ 가 $H^\infty$ 해석학을 이용해 $\varphi(z) = z e^{-z}$ 를 사용하여 도출된다.
• 전이 원리에 의해 $1 < p < q$ 에 대해 벡터 값 부등식이 페퍼만-스타인의 부등식으로 환원되며, 찰펜티에르와 데레발이 제기한 질문에 대해 긍정적인 답변을 제공한다.
• 제시된 조건 하에서 반군의 $L_p(X;E)$로의 확장은 해석적이며 생성자는 유계 $H^\infty$ 해석학을 갖는다. 이는 최대부등식과 함수 해석학 이론 사이의 연결을 맺는다.