[논문 리뷰] Hölder continuity and injectivity of optimal maps

Alessio Figalli, Young‐Heon Kim외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 06.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 1인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 밀도가 유계이고 비특이적인 비용 함수에 대해 (A3)w 조건 하에서 최적 운반 지도의 국소 헬더 연속성과 단사성을 확립한다. c-볼록 함수의 등치수를 볼록하게 만드는 좌표 변환을 도입하고, 새로운 알렉산드로프 유형의 추정식을 유도하며, 내부점과 경계점의 혼합을 방지하는 위상적 보조정리를 증명함으로써, 저자들은 최적 지도가 국소적으로 $ C^{1,\alpha} $임을 보이며, 헬더 지수 $ \alpha > 0 $는 차원과 밀도의 유계성에만 의존하며 비용 함수에는 영향을 받지 않는다는 것을 밝힌다.

ABSTRACT

Consider transportation of one distribution of mass onto another, chosen to optimize the total expected cost, where cost per unit mass transported from x to y is given by a smooth function c(x,y). If the source density f^+(x) is bounded away from zero and infinity in an open region U' \subset R^n, and the target density f^-(y) is bounded away from zero and infinity on its support \cl V \subset R^n, which is strongly c-convex with respect to U', and the transportation cost c satisfies the A3w condition of Trudinger and Wang \cite{TrudingerWang07p}, we deduce local Hölder continuity and injectivity of the optimal map inside U' (so that the associated potential u belongs to C^{1,α}_{loc}(\U')). Here the exponent α>0 depends only on the dimension and the bounds on the densities, but not on c. Our result provides a crucial step in the low/interior regularity setting: in a sequel \cite{FigalliKimMcCann09p}, we use it to establish regularity of optimal maps with respect to the Riemannian distance squared on arbitrary products of spheres. Three key tools are introduced in the present paper. Namely, we first find a transformation that under A3w makes c-convex functions level-set convex (as was also obtained independently from us by Liu \cite{Liu09}). We then derive new Alexandrov type estimates for the level-set convex c-convex functions, and a topological lemma showing optimal maps do not mix interior with boundary. This topological lemma, which does not require A3w, is needed by Figalli and Loeper \cite{FigalliLoeper08p} to conclude continuity of optimal maps in two dimensions. In higher dimensions, if the densities f^\pm are Hölder continuous, our result permits continuous differentiability of the map inside U' (in fact, C^{2,α}_{loc} regularity of the associated potential) to be deduced from the work of Liu, Trudinger and Wang \cite{LiuTrudingerWang09p}.

연구 동기 및 목표

• 밀도가 0과 무한대에서 유계일 때, 낮은 정규성 조건 하에서 최적 운반 지도의 국소 헬더 연속성과 단사성을 확립하는 것.
• 비용 함수에 대해 (A3)w 조건 하에서 c-볼록 함수의 등치수를 볼록하게 만드는 좌표 변환을 개발하는 것.
• 등치수 볼록한 c-볼록 함수에 대해 곡률과 정규성을 제어하기 위한 새로운 알렉산드로프 유형 추정식을 도출하는 것.
• 높은 차원에서 단사성에 핵심적인, 내부점과 경계점의 혼합을 방지하는 위상적 보조정리를 증명하는 것.
• 비용 함수 $ c $ 에 독립적인 보편적인 헬더 지수를 잠재함수 $ u $ 에 대해 확립하는 것.

제안 방법

• c-볼록 함수의 등치수를 볼록하게 만드는 좌표 변환을 도입하여, 리우가 별도로 확보한 결과를 일반화하는 것.
• 변환된 좌표를 사용하여 c-볼록 함수의 몽주-아미페르 측도에 대한 새로운 하한 및 상한을 도출하는 것.
• 일반적인 가정 하에서, 부분미분 $ \partial^c u $ 가 도메인의 내부점과 경계점의 혼합을 일으키지 않는다는 위상적 보조정리를 증명하는 것.
• 흡수 성질과 변환된 c-볼록성으로 잠재함수 $ u $ 의 성장률을 제어하는 미분부등식을 유도하는 것.
• 일반적인 $ C^{1,1/K} $ 정규성 추정식을 바탕으로 비교 원리를 적용하여, $ u $ 의 국소 $ C^{1,\alpha} $ 정규성을 유도하는 것.
• 헤시안 행렬의 행렬식 곱이 유계인 유한 개의 이웃 분야로 도메인을 덮는 방식을 통해 보편적인 헬더 지수 $ \alpha > 0 $ 를 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도가 0과 무한대에서 유계일 때, 최적 운반 지도가 국소적으로 헬더 연속성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 차원과 밀도의 유계성만 주어졌을 때, 특정 비용 함수 $ c $ 에 의존하지 않고 최적 지도의 정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 (A3)w 조건 하에서, c-볼록 함수의 기하학을 등치수 볼록성으로 단순화하는 변환이 가능한가?
• RQ4 (A3)w 조건을 가정하지 않고, 최적 지도에서 내부점과 경계점의 혼합을 방지하는 위상적 장벽을 증명할 수 있는가?
• RQ5 잠재함수 $ u $ 의 최적 헬더 지수는 무엇이며, 비용 함수 $ c $ 에 의존하는가?

주요 결과

• 비용 함수의 밀도가 0과 무한대에서 유계이고 (A3)w 조건이 만족될 경우, 최적 지도는 국소적으로 헬더 연속적이며, 도메인 $ U' $ 의 내부에서 단사적이다.
• 잠재함수 $ u $ 는 $ C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(U') $ 에 속하며, 헬더 지수 $ \alpha > 0 $ 는 오직 차원 $ n $ 과 소스 밀도의 하한 $ \lambda $ 에만 의존한다.
• 헬더 지수는 보편적이다: 비용 함수 $ c $ 에 의존하지 않고, 오직 $ n $ 과 $ \lambda $ 에만 의존하며, 헤시안 행렬의 행렬식 곱이 유계인 덮개를 통한 증명으로 입증된다.
• 새로운 좌표 변환이 구성되었으며, 이는 (A3)w 조건 하에서 c-볼록 함수를 등치수 볼록하게 만들며, 새로운 알렉산드로프 유형 추정식을 가능하게 한다.
• 내부점과 경계점의 혼합을 방지하는 위상적 보조정리가 증명되었으며, 이는 $ n \geq 3 $ 차원에서 단사성 확보에 필수적이다.
• 결과는 후속 논문에서 리만 거리 제곱을 비용 함수로 사용한 구의 곱 위에서 최적 지도의 정규성 확립을 위한 핵심 단계를 제공한다.