[논문 리뷰] Hölder Continuity of Cumulative Distribution Functions for Noncommutative Polynomials under Finite Free Fisher Information

Marwa Banna, Tobias Mai|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 28.

Random Matrices and Applications참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비가환 다항식의 자기수반 랜덤 변수에서 유한한 비마이크로스테이트 자유 피셔 정보를 가진 경우, 누적분포함수의 홀더 연속성을 확립한다. 다항식 차수에만 의존하는 명시적 홀더 지수를 증명하며, 선형 다항식의 경우 최적의 지수 $\frac{2}{3}$를 달성하고, 리프시츠 공액변수 조건 하에서는 리프시츠 연속성을 확보함으로써 부분적인 정규성 및 엔트로피 유한성 추측을 확인한다.

ABSTRACT

This paper contributes to the current studies on regularity properties of noncommutative distributions in free probability theory. More precisely, we consider evaluations of selfadjoint noncommutative polynomials in noncommutative random variables that have finite non-microstates free Fisher information, highlighting the special case of Lipschitz conjugate variables. For the first time in this generality, it is shown that the analytic distributions of those evaluations have Hölder continuous cumulative distribution functions with an explicit Hölder exponent that depends only on the degree of the considered polynomial. For linear polynomials, we reach in the case of finite non-microstates free Fisher information the optimal Hölder exponent $\frac{2}{3}$, and get Lipschitz continuity in the case of Lipschitz conjugate variables. In particular, our results guarantee that such polynomial evaluations have finite logarithmic energy and thus finite (non-microstates) free entropy, which partially settles a conjecture of Charlesworth and Shlyakhtenko [CS16]. We further provide a very general criterion that gives for weak approximations of measures having Hölder continuous cumulative distribution functions explicit rates of convergence in terms of the Kolmogorov distance. Finally, we combine these results to study the asymptotic eigenvalue distributions of polynomials in GUEs or matrices with more general Gibbs laws. For Gibbs laws, this extends the corresponding result obtained in [GS09] from convergence in distribution to convergence in Kolmogorov distance; in the GUE case, we even provide explicit rates, which quantify results of [HT05,HST06] in terms of the Kolmogorov distance.

연구 동기 및 목표

• 비가환 다항식의 비가환 분포의 정규성 성질을 자유확률론 이론에서 규명한다.
• 자기수반 비가환 다항식의 평가에 대한 누적분포함수(CDF)의 홀더 연속성을 규명한다.
• 유한한 비마이크로스테이트 자유 피셔 정보 하에서 다항식 차수에만 의존하는 명시적 홀더 지수를 제공한다.
• 유한한 비마이크로스테이트 자유 엔트로피를 갖는 다항식 평가가 유한한 로그 에너지를 가지며, 이는 찰스워스와 셰일하크텐코의 추측을 부분적으로 해결한다.
• 홀더 연속 CDF를 갖는 측도의 약한 근사에서 코모고로프 거리 수렴 속도에 대한 일반 기준을 개발한다.

제안 방법

• 비마이크로스테이트 자유 피셔 정보 프레임워크를 활용하여 비가환 분포의 정규성 분석을 수행한다.
• 행렬 값의 잔여함수와 슈어 보조정리를 통한 비가환 다항식의 자기수반 선형 표현을 적용한다.
• $L^2(\mathcal{M},\tau)^d$에서의 잔여함수 항등식과 코시-슈바르츠 부등식을 활용하여 잔여함수 추적값 간의 차이를 유 bounds 한다.
• 다항식 평가의 잔여함수와 블록 행렬 잔여함수 간의 차이에 대한 명시적 유계를 도출함으로써 홀더 연속성 추정치를 이끌어낸다.
• 홀더 연속성 결과를 약한 근사에서 코모고로프 거리 수렴 속도에 대한 일반 기준과 결합한다.
• 이 프레임워크를 GUE 및 견고도를 갖는 측도를 가진 행렬을 포함한 랜덤 행렬 집합에 적용하여 코모고로프 거리에서의 명시적 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 비마이크로스테이트 자유 피셔 정보 하에서 비가환 다항식의 누적분포함수에 대해 어떤 정규성 성질, 특히 홀더 연속성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 유한한 자유 피셔 정보 조건 하에서 선형 비가환 다항식의 CDF에 대한 최적의 홀더 지수는 무엇인가?
• RQ3 유한한 자유 피셔 정보가 다항식 평가에 대해 유한한 로그 에너지와 따라서 유한한 비마이크로스테이트 자유 엔트로피를 암시할 수 있는가?
• RQ4 홀더 연속 CDF를 갖는 측도의 약한 근사에서 코모고로프 거리 수렴에 대한 명시적 속도는 무엇인가?
• RQ5 이러한 정규성 및 수렴 결과는 GUE 행렬 또는 견고도를 갖는 행렬에서 다항식의 점근적 고유값 분포에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 자기수반 비가환 다항식 평가의 누적분포함수는 다항식 차수에만 의존하는 지수를 갖는 홀더 연속성을 가진다.
• 선형 다항식의 경우, 유한한 비마이크로스테이트 자유 피셔 정보 조건 하에서 최적의 홀더 지수 $\frac{2}{3}$를 달성한다.
• 리프시츠 공액변수 조건 하에서는 CDF가 리프시츠 연속성을 가지며, 이는 지수 1에 해당한다.
• 이 결과들은 다항식 평가가 유한한 로그 에너지를 가지며 따라서 유한한 비마이크로스테이트 자유 엔트로피를 갖는다는 것을 암시하며, 찰스워스와 셰일하크텐코의 추측을 뒷받침한다.
• 홀더 연속 CDF를 갖는 측도의 약한 근사에서 코모고로프 거리 수렴 속도에 대한 명시적 기준이 확립된다.
• 이 프레임워크는 GUE 행렬 및 견고도를 갖는 행렬에서 다항식의 점근적 고유값 분포에 대해 코모고로프 거리에서의 명시적 수렴 속도를 도출하며, 이는 이전의 수렴 분포 결과를 더 강한 수렴으로 확장한다.