[논문 리뷰] Hölder continuity of normal cycles and of support measures of convex bodies

Daniel Hug, Rolf Schneider|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 05.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 공간 내 볼록체의 정규 순환과 지지 측도에 대한 헬더 연속성 추정을 수립한다. 이중 평탄한 반노름과 유계 리프시츠 거리의 조합을 사용하여, 정규 순환이 하우스도르프 거리에서 지수 $1/(2n+1)$로 헬더 연속적으로 변함을 증명한다. 지지 측도는 지수 $1/2$로 변하며, 두 경우 모두 기하적 유계 조건에 따라 결정되는 상수를 갖는다.

ABSTRACT

We provide an estimate of the distance (in the dual flat seminorm) of the normal cycles of convex bodies with given Hausdorff distance. We also give an estimate (in the bounded Lipschitz metric) of the support measures of convex bodies.

연구 동기 및 목표

• 하우스도르프 수렴 하에서 정규 순환의 기존 연속성에 대한 정량적 개선을 제공하기 위해.
• 지지 측도의 국소적 헬더 연속성을 유계 리프시츠 거리에 대해 수립하기 위해.
• 곡률 및 면적 측도에 대한 기존의 안정성 결과를 향상시키기 위해 명시적인 헬더 유형 추정을 제공하기 위해.
• 차잘 등이 제시한 기법을 볼록체로 확장하여 이전에 확보된 바보다 더 강력한 추정을 가능하게 하기 위해.
• 정규 순환과 지지 측도의 정규성과 기하학적 불변량(내접원, 외접원, 평행체 등) 간의 관계를 연결하기 위해.

제안 방법

• 공통 집합 $M$ 상에서 미분 형식을 이용하여 $\mathbb{R}^{2n}$ 상에서 정규 순환의 차이의 이중 평탄 반노름을 추정한다. 이는 매끄럽고 컴actsupport를 갖는 조건을 활용한다.
• 지지 측도 $\Lambda_i(K,\cdot)$와 $\Lambda_i(L,\cdot)$를 비교하기 위해 수정된 유게 리프시츠 거리의 형태를 적용한다. 이는 변환 공식과 거리 및 정규 벡터장의 성질을 활용한다.
• 투영과 정규 사상에 의해 정의된 보조 측도 $\mu_{K,\rho}$를 사용한다. $K^\rho = K + \rho B^n$ 상에서 정의되며, 이 측도들이 유게 리프시츠 거리에서 리프시츠 연속임을 보였다.
• 측도의 차이를 세 부분으로 분해한다: 겹침 영역에서의 $|p_K - p_L|$, $|u_K - u_L|$, 그리고 대칭차 $K^\rho \triangle L^\rho$로 나누며, 각각 기하학적 유계 조건을 이용해 추정한다.
• 거리 함수의 기울기($\nabla d_K = u_K$)에 관한 기존 결과를 적용하여 정규 벡터 차이의 $L^1$-노름을 유계한다.
• 바르데모네 행렬의 선형 구조를 이용해 지지 측도 $\Lambda_i$를 $\mu_{K,\rho_j}$의 선형 조합으로 표현한다. 이는 $\rho_j = j/n$ 일 때 성립하며, 추정의 전달이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하우스도르프 수렴 하에서 정규 순환의 약한 연속성이 정량적 헬더 추정으로 강화될 수 있는가?
• RQ2 이중 평탄 반노름 하에서 하우스도르프 거리에 대한 정규 순환의 최적 헬더 지수는 무엇인가?
• RQ3 볼록체의 지지 측도 간의 유게 리프시츠 거리는 그들의 하우스도르프 거리와 어떻게 척도가 맞는가?
• RQ4 지지 측도의 헬더 연속성에 의해 면적 측도에 대한 민코프스키 존재 및 유일성 정리의 안정성이 향상될 수 있는가?
• RQ5 차잘 등이 제시한 방법은 볼록체에 얼마나 잘 일반화되어 있으며, 더 강력한 정규성 추정을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 정규 순환 $T_K$ 는 $|T_K(\varphi) - T_L(\varphi)| \leq C(M,\varphi) \, d_H(K,L)^{1/(2n+1)}$ 를 만족한다. 이는 $K_1 \times \mathbb{S}^{n-1}$ 과 $L_1 \times \mathbb{S}^{n-1}$ 를 포함하는 컴팩트 집합 $M$ 상의 모든 매끄러운 $(n-1)$-형식 $\varphi$ 에 대해 성립한다.
• 지지 측도 $\Lambda_i(K,\cdot)$ 는 $d_{bL}(\Lambda_i(K,\cdot), \Lambda_i(L,\cdot)) \leq C(R) \, d_H(K,L)^{1/2}$ 를 만족한다. 여기서 $R$ 은 $K_2$ 와 $L_2$ 의 평행체를 포함하는 구의 반경을 유계로 둔다.
• 면적 측도 $S_{n-1}(K,\cdot)$ 는 동일한 헬더 추정을 상속한다: $d_{bL}(S_{n-1}(K,\cdot), S_{n-1}(L,\cdot)) \leq C'(R) \, d_H(K,L)^{1/2}$.
• 지지 측도 추정에서 상수 $C(R)$ 은 차원과 $K_2$ 및 $L_2$ 를 포함하는 구의 반경 $R$ 에만 의존하며, $K$ 와 $L$ 의 구체적인 형태에는 영향을 받지 않는다.
• 증명은 유게 리프시츠 거리를 세 구성요소로 분해함에 의해 이루어지며, 각각은 위치 및 정규 벡터장의 차이(교차 영역에서), 그리고 평행체의 대칭차로 나뉘며, 각각 $O(\sqrt{\delta})$ 수준으로 유계된다.
• 바르데모네 행렬에 의한 $\Lambda_i$ 의 선형 재구성은 $\mu_{K,\rho_j}$ 에서 유도되며, 이는 헬더 지수 $1/2$ 가 선형 조합 하에서도 유지됨을 보장한다.