[논문 리뷰] H{ö}lder continuity of random processes

Witold Bednorz|ArXiv.org|2007. 03. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 주요 측도 이론에서 사용되는 양함수 $\varphi$에 대한 조건을 완화함으로써 랜덤 과정의 헬더 연속성 결과를 확장한다. 새로운 미니마이징 거리 $\tau_{m,\varphi}$를 도입하고, $\varphi$의 성장 조건을 약화시킨 경우에도 분리 가능한 과정의 정규화된 증분의 최대값이 기대값에서 유계임을 증명함으로써 표본 경로의 정규성을 확보한다. 주요 기여는 쿠아피엔과 로신스키의 결과를 지수형 $\varphi$ 함수를 초월하여 일반화한 것이다.

ABSTRACT

The paper will be published in JOTP. In the paper we prove Holder Continuity for ceratian classes of processes with bounded increments. The paper generalizes results obtained by Kwapien and Rosinski in Sample H{ö}lder continuity of stochastic processes and majorizing measures. extit{Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications IV, Progr. in Probab.} {\bf 58}, 155--163. Birkh{ä}user, Basel.

연구 동기 및 목표

• 주요 측도 방법을 사용하여 양함수 $\varphi$에 대한 $\triangle^2$ 조건이 엄격하게 제한되지 않는 경우에도 랜덤 과정의 헬더 연속성을 증명하는 데 일반화하는 것.
• 분리 가능한 과정이 $\varphi$-유계 증분을 가지는 경우에 미니마이징 거리 $\tau_{m,\varphi}$가 증분을 제어할 수 있도록 하는 양함수 $\varphi$에 대한 충분조건을 설정하는 것.
• $\varphi$가 지수형으로 성장해야 한다는 요구 조건(즉, $\triangle^2$ 조건을 만족해야 한다는 것)을 완화하여 다항형 $\varphi_p(x) = x^p$와 같은 더 넓은 함수 클래스에 적용 가능하게 하는 것.
• 공간 $T \times T$ 위에 확률 측도 $\nu$를 구성하여 오르리츠 노름이 $\tau_{m,\varphi}$를 통해 연속성 모듈러스를 제어할 수 있도록 하는 것.
• 새로운 $\varphi$의 성장 조건 하에서 정규화된 증분의 기대값 최대값이 유일한 상수에 의해 유계임을 증명함으로써 표본 경로의 거의 확실히 연속성을 보장하는 것.

제안 방법

• 콤���한 메트릭 공간 $(T,d)$ 위의 Borel 확률 측도 $m$에 대해, $\tau_{m,\varphi}(s,t) = \max\left\{ \int_0^{d(s,t)} \varphi^{-1}\left(\frac{1}{m(B(s,\varepsilon))}\right) d\varepsilon, \int_0^{d(s,t)} \varphi^{-1}\left(\frac{1}{m(B(t,\varepsilon))}\right) d\varepsilon \right\}$ 로 미니마이징 거리를 정의한다.
• 성장 비율이 감소하는 조건을 만족하는 새로운 양함수 클래스를 도입한다: $k \geq 1$ 에 대해 $\frac{\varphi(R^k)}{\varphi(R^{k+1})} \leq \frac{\varphi(R^{k-1})}{\varphi(R^k)}$ 를 만족하며, 이는 $\triangle^2$ 조건을 완화한다.
• 이중화 링크에 대한 측도의 가중합을 사용하여 $T \times T$ 위에 확률 측도 $\nu$를 구성하며, 함수 $r_k(u)$를 사용해 증분을 국소화한다.
• 푸비니 정리와 오르리츠 노름 추정을 사용하여 $|f(s) - f(t)|$ 를 $\tau_{m,\varphi}(s,t)$ 와 증분 함수 $f^d(u,v) = |f(u) - f(v)| / d(u,v)$ 의 $\psi_+$-오르리츠 노름으로 유계화한다.
• $\nabla'$ 조건을 적용하여 $\varphi_+$ 의 성장률을 제어하고, 하향성과 동차성을 활용하여 정규화된 증분에 대한 균일한 유계를 도출한다.
• $\varphi$ 에 대한 새로운 조건 하에서 $\mathbf{E} \sup_{s,t} \varphi\left( \frac{|X(s)-X(t)|}{K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \right) \leq 1$ 이 되는 유일한 상수 $K$ 가 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양함수 $\varphi$가 $\triangle^2$ 조건을 만족하지 않더라도 주요 측도 방법을 사용하여 헬더 연속성을 증명하는 것이 가능한가?
• RQ2 어떤 약화된 조건 하에서도 $\varphi$가 성장하는 경우, 분리 가능한 과정이 $\varphi$-유계 증분을 가지는 경우 미니마이징 거리 $\tau_{m,\varphi}$ 가 증분을 제어할 수 있는가?
• RQ3 공간 $T \times T$ 위에 오르리츠 노름이 $\tau_{m,\varphi}$ 를 통해 연속성 모듈러스를 제어하는 확률 측도 $\nu$ 를 구성할 수 있는가?
• RQ4 다항형 함수 $\varphi_p(x) = x^p$ 는 $p < \infty$ 에서 $\triangle^2$ 조건을 만족하지 않지만, 새로운 프레임워크는 이러한 함수에 대해 어떻게 작동하는가?
• RQ5 $\varphi$ 의 성장 가정을 약화시킨 조건 하에서도 정규화된 증분의 기대값 최대값이 균일하게 유계일 수 있는가?

주요 결과

• 양함수 $\varphi$ 가 감소 비율 조건 (1) 과 합계 조건 (2) 를 만족하는 한, 모든 분리 가능한 과정 $X$ 에 대해 $\mathbf{E} \sup_{s,t} \frac{|X(s)-X(t)|}{2K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \leq 1$ 을 만족하는 유한한 상수 $K < \infty$ 가 존재함을 증명한다.
• 만약 $\psi \in \nabla'$ 이면 $\mathbf{E} \sup_{s,t} \psi\left( \frac{|X(s)-X(t)|}{2K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \right) \leq 1$ 이 되며, 이는 더 강력한 尾 꼬리 확률 추정을 제공한다.
• 미니마이징 거리 $\tau_{m,\varphi}$ 가 온건한 조건 하에서 특정 거리 $\rho$ 와 동치임을 보였으며, 어떤 $K > 0$ 에 대해 $\tau_{m,\varphi}(s,t) \leq K \rho(s,t)$ 를 만족함으로써 정규성을 보장한다.
• 다항형 함수 $\varphi_p(x) = x^p$, $p \geq 1$ 에 대해서는 더 약한 결과지만 여전히 타당한 결과를 도출하여 지수형 함수를 초월한 적용 가능성을 넓힌다.
• $T \times T$ 위에 구성된 측도 $\nu$ 는 오르리츠 노름 $|f^d|^{\nu}_{\psi_+}$ 가 $|f(s)-f(t)|$ 를 상수 $K \tau_{m,\varphi}(s,t)$ 의 인자로 지배함을 보장한다.
• 상수 $K$ 는 $\varphi$, $\psi$, 그리고 $R > 1$ 의 매개변수에만 의존하며, $K = (1+2D)R^{n_0+1}K_0$ 와 같이 명시적으로 유계화되며, 여기서 $K_0$ 는 측도 $m$ 과 $\varphi$ 에 따라 결정된다.