[논문 리뷰] Hölder continuity of tangent cones in RCD(K,N) spaces and applications to non-branching

Qin Deng|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 45인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 RCD(K,N) 공간 내에서 지오데식을 따라 접선 콘의 헬더 연속성을 확립하며, 임의의 내부 지오데식을 중심으로 한 작은 구의 기하학이 지-pointed Gromov-Hausdorff 거리 하에서 헬더 연속적인 방식으로 변한다는 것을 증명한다. 이 결과는 RCD(K,N) 공간이 분기하지 않으며, 정규 집합의 m-거의 전역에서 차원이 일정하고, m-거의 전역에서 볼록하다는 것을 의미하며, 최고차원 정규 집합은 약한 볼록성을 가지며 따라서 연결되어 있음을 시사한다.

ABSTRACT

In this paper we prove that a metric measure space $(X,d,m)$ satisfying the finite Riemannian curvature-dimension condition ${\sf RCD}(K,N)$ is non-branching and that tangent cones from the same sequence of rescalings are Hölder continuous along the interior of every geodesic in $X$. More precisely, we show that the geometry of balls of small radius centred in the interior of any geodesic changes in at most a Hölder continuous way along the geodesic in pointed Gromov-Hausdorff distance. This improves a result in the Ricci limit setting by Colding-Naber where the existence of at least one geodesic with such properties between any two points is shown. As in the Ricci limit case, this implies that the regular set of an ${\sf RCD}(K,N)$ space has $m$-a.e. constant dimension, a result already established by Bruè-Semola, and is $m$-a.e convex. It also implies that the top dimension regular set is weakly convex and, therefore, connected. In proving the main theorems, we develop in the ${\sf RCD}(K,N)$ setting the expected second order interpolation formula for the distance function along the Regular Lagrangian flow of some vector field using its covariant derivative.

연구 동기 및 목표

• RCD(K,N) 공간 내에서 지오데식을 따라 작은 구의 기하학의 헬더 연속성을 확립하는 것.
• RCD(K,N) 공간이 비분기임을 증명함으로써 리치 극한 이론에서 오랫동안 열려있던 문제를 해결하는 것.
• Colding-Naber의 리치 극한 공간에 대한 결과를 전체 RCD(K,N) 프레임워크로 일반화하는 것.
• RCD(K,N) 공간 내 정규 집합이 m-거의 전역에서 일정한 차원을 가지며, m-거의 전역에서 볼록하다는 것을 보여주는 것.
• 최고차원 정규 집합의 약한 볼록성과 연결성을 확립하는 것.

제안 방법

• 벡터장의 Regular Lagrangian flow를 따라 거리 함수에 대한 두 번째 차수의 보간 공식을 개발하는 것, 이를 위해 그의 공변미분을 사용하는 것.
• RCD(K,N) 설정에서 거리 및 초과 함수를 제어하기 위해 열 흐름 근사치를 사용하는 것.
• 외재적 극한 지오데식 방법에 비해 개선된 내재적 구성 방법을 통해 임의의 두 점 사이의 지오데식을 구성함으로써, 작은 구 기하학의 헬더 연속성을 확보하는 것.
• Arzelà-Ascoli 정리를 적용하여 스케일링된 미터 측도 공간의 수렴하는 부분수열을 추출하여 접선 콘을 정의하는 것.
• 모순에 의한 비분기성 증명: 어떤 분기 구조도 지오데식을 따라 기하학의 헬더 연속성 위반을 초래함을 보여주는 것.
• Fubini 유사 추론 및 세그먼트 부등식을 사용하여 거의 모든 지오데식을 따라 정규 집합 차원의 m-거의 전역에서의 일관성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RCD(K,N) 공간 내에서 지오데식을 중심으로 한 작은 구의 기하학이 지-pointed Gromov-Hausdorff 거리 하에서 헬더 연속적인가?
• RQ2 RCD(K,N) 공간은 비분기이며, 이는 접선 콘의 정규성에 의해 증명될 수 있는가?
• RQ3 RCD(K,N) 공간 내 정규 집합은 리치 극한 경우와 같이 m-거의 전역에서 일정한 차원을 가지는가?
• RQ4 정규 집합은 m-거의 전역에서 볼록하며, 최고차원 정규 집합은 약한 볼록성과 연결성을 가지는가?
• RQ5 RCD(K,N) 공간 내 두 번째 차수 미적분학을 사용하여 흐름을 따라 거리 함수에 대한 보간 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• RCD(K,N) 공간 내 임의의 내부 지오데식을 따라 작은 구의 기하학은 헬더 연속적인 방식으로 변한다: $ d_{pGH}\big((B_r(\nu(s)), \nu(s)), (B_r(\nu(t)), \nu(t))\big) < \frac{C K'}{\nu \ell'} r |s-t|^\alpha $, $ r < r_0 \frac{\delta \ell'}{K'} $, $ \alpha(N) > 0 $.
• 동일한 스케일링 수열에서 유도된 접선 콘은 헬더 연속적이다: $ d_{pGH}((B_r(y_s), y_s), (B_r(y_t), y_t)) < \frac{C K'}{\delta \ell'} r |s-t|^\alpha $, 모든 $ r > 0 $ 에 대해.
• RCD(K,N) 공간은 비분기적이다. 이는 리치 극한 이론에서 핵심적인 열린 문제를 해결한다.
• 정규 집합 $ \mathcal{R}_n $ 은 $ m $-거의 전역에서 일정한 차원 $ n \in \mathbb{N} $ 을 가지며, $ 1 \leq n \leq N $, 그리고 $ m(X \setminus \mathcal{R}_n) = 0 $.
• 정규 집합 $ \mathcal{R}_n $ 은 $ m $-거의 전역에서 볼록하고, 약한 볼록성을 가지며, 따라서 연결되어 있다.
• 최고차원 정규 집합은 약한 볼록성을 가지며, 따라서 연결되어 있다. 이는 리치 극한 설정에서의 결과를 일반화한다.