[논문 리뷰] H2-optimal approximation of MIMO linear dynamical systems

Paul Van Dooren, Kyle A. Gallivan외 1명|ArXiv.org|2008. 07. 30.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 및 이산시간 설정에서 ℋ₂-노름 오차의 정적점이 탄성 보간 조건을 통해 특성화되는 방식으로, 다중입력다중출력(MIMO) 선형 동적 시스템에 대한 ℋ₂-최적 모델 축소 방법을 제시한다. 주요 기여는 최적의 저차원 모델을 조르당 블록 구조에 연결된 보간 조건을 사용하여 매개변수화함으로써, 비유일적인 상태공간 표현에도 불구하고 기울기 기반 최적화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the problem of approximating a multiple-input multiple-output (MIMO) $p imes m$ rational transfer function $H(s)$ of high degree by another $p imes m$ rational transfer function $\hat H(s)$ of much smaller degree, so that the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error is minimized. We characterize the stationary points of the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error by tangential interpolation conditions and also extend these results to the discrete-time case. We analyze whether it is reasonable to assume that lower-order models can always be approximated arbitrarily closely by imposing only first-order interpolation conditions. Finally, we analyze the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error for a simple case in order to illustrate the complexity of the minimization problem.

연구 동기 및 목표

• 다중입력다중출력(MIMO) 선형 동적 시스템에 대한 저차원 근사 방법을 ℋ₂-최적으로 개발한다.
• 연속시간 및 이산시간 시스템에 대해 ℋ₂-노름 오차의 정적점을 보간 조건의 관점에서 특성화한다.
• 비유일적인 상태공간 표현 문제를 해결하기 위해 중복이 없고 매개변수에 의존하지 않는 정적점 조건을 유도한다.
• 저차수 시스템 예제를 통해 ℋ₂ 근사 문제에서 국소 최솟값의 존재성과 성격을 분석한다.
• 조르당 캐논리컬 형식 대신 실레스터 방정식 표현을 사용하여 ℋ₂-최적 모델 축소를 위한 수치적으로 안정적인 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 윌슨의 공식을 사용하여 제곱 ℋ₂-노름 오차의 기울기를 유도함으로써, 상태공간 매개변수에 대한 최적화를 가능하게 한다.
• 전달함수와 그 쌍대 전달함수를 포함하는 탄성 보간 조건을 통해 ℋ₂-최적 근사자들을 특성화하며, 이를 조르당 블록 매개변수의 형태로 표현한다.
• 실레스터 방정식을 사용하여 보간 조건을 수치적으로 안정적인 형태로 표현함으로써, 조르당 형식에 기인한 악조건 문제를 피한다.
• 이산시간 케이스에서 조건을 재구성하기 위해 전달함수 $ H_*(z) = z^{-1}H^T(z^{-1}) $ 를 적용한다.
• 다항식 벡터를 사용한 행렬 방정식을 활용하여 고차수 극점에 대한 조건을 도출함으로써, 일차 극점 결과를 일반화한다.
• 맥밀란 차수 1 및 2 시스템의 오차 노름 구조를 분석하여 다수의 국소 최솟값 존재를 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℋ₂-최적 MIMO 근사는 상태공간 매개변수화에 의존하지 않는 보간 조건으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 저차원 모델이 단순 극점 대신 고차수 조르당 블록을 가질 경우 보간 조건은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 모든 저차원 모델에서 임의로 가까운 근사를 달성하기 위해 일차 보간 조건만으로도 충분한가?
• RQ4 실레스터 방정식 표현 방식은 조르당 캐논리컬 형식 대비 수치적 안정성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 저차수 시스템의 ℋ₂ 근사 문제에서 최대 몇 개의 국소 최솟값이 존재할 수 있는가?

주요 결과

• ℋ₂-노름 오차의 정적점은 전달함수와 그 쌍대함수를 포함하는 탄성 보간 조건과 대응하며, 이 조건의 차수는 조르당 블록 크기에 따라 달라진다.
• 일차 극점의 경우 조건은 저차원 모델의 극점에서 전달함수와 그 도함수의 일치로 축소되며, [ML67]의 SISO 결과를 일반화한다.
• 맥밀란 차수 1 및 2 시스템의 오차 노름 분석을 통해 다수의 국소 최솟값 존재를 확인함으로써 최적화 문제의 비볼록성 확인.
• 실레스터 방정식 기반 보간 조건은 조르당 형식에 기반한 표현 방식에 비해 수치적으로 안정적인 대안을 제공하며, 고차수 극점 근처에서 악조건 문제를 피한다.
• 최소 $ \min(p,m) > 1 $ 일 경우, 차수 $ n $ 의 유리 전달함수 집합에 대해 전역적으로 매끄러운 매개변수화가 존재하지 않지만, 실레스터 표현을 통해 국소적으로 매끄러운 매개변수화가 가능하다.
• 이산시간 케이스는 쌍대 전달함수 $ H_*(z) $ 를 사용하여 완전히 특성화되며, 다항식 전개를 통한 $ (\lambda - z) $ 에 기반한 유사한 보간 조건이 유도된다.