[논문 리뷰] Haag's theorem in renormalised quantum field theories

Lutz Klaczynski|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 01.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상호작용이 존재할 경우 하그의 정리가 보편 양자장이론이 본질적으로 비어있다는 것을 시사한다고 주장한다. 이는 자유장과 상호작용 장 사이의 유니타리 동치가 붕괴되기 때문이다. 논문은 재규합이 하그의 정리의 핵심 가정인 유니타리성의 위반을 통해 이 문제를 회피함으로써, 수학적 장벽에도 불구하고 물리적으로 의미 있는 상호작용 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We review a package of no-go results in axiomatic quantum field theory with Haag's theorem at its centre. Since the concept of operator-valued distributions in this framework comes very close to what we believe canonical quantum fields are about, these results are of consequence to quantum field theory: they suggest the seeming absurdity that this highly victorious theory is incapable of describing interactions. We single out unitarity of the interaction picture's intertwiner as the most salient provision of Haag's theorem and critique canonical perturbation theory to argue that renormalisation bypasses Haag's theorem by violating this very assumption.

연구 동기 및 목표

• 표준 양자장 이론에 대한 하그의 정리의 기초적 함의를 조사하며, 특히 상호작용 장과 자유장이 유니타리 동치가 될 수 없다는 주장의 근거를 밝히는 것.
• 표준 양자장 이론의 섭동 이론이 수학적으로 일관되지 않음에도 불구하고 하그의 정리가 암시하는 비어있음에서 벗어나는 이유를 분석하는 것.
• 재규합이 하그의 정리의 근본 가정, 특히 유니타리 동치의 요구 조건을 어떻게 우회하는지 명확히 하는 것.
• 상호작용 그림과 캐논리컬 교환관계가 하그의 정리 및 재규합의 맥락에서 수행하는 역할를 분석하는 것.
• 섭동 이론의 성공과, 이러한 이론이 비어있을 것이라고 시사하는 공리적 프레임워크 사이의 모순을 해소하는 것.

제안 방법

• 위트먼 공리계와 리히-슐리더 정리의 맥락에서 하그의 정리를 분석하여 진공 상태가 순환적임을 보이고, 장 연산자가 자유장 방정정식을 만족해야 한다고 보여준다.
• 상호작용 그림의 연계자(intertwiner)가 상호작용이 존재할 경우 유니타리가 될 수 없음을 입증하여, 이는 상호작용 장이 자유장과 유니타리 동치가 될 수 없음을 의미한다.
• 겔-망과 로우 정리를 적용하여 상호작용을 점진적으로 끄는(adibatic switching) 과정이 비유니타리 진동을 유도함을 보이고, 이는 재규합된 S행렬 계산에 필수적임을 밝힌다.
• 조스트-쇼어 정리와 스펙트럼 분석을 사용하여 질량 초구면 위에 지지된 장 연산자가 자유장 교환관계를 만족해야 한다고 보여준다.
• 와이즈-웨지 정리를 적용하여 일부 교환자 분포가 사라짐을 증명하고, 이로 인해 장 교환관계가 위트먼 함수에 의해 완전히 결정됨을 도출한다.
• 재규합이 하그의 정리의 유니타리성 가정을 깨뜨림으로써, 반대항을 도입함으로써 힐베르트 공간의 구조를 수정함으로써 비어있지 않은 상호작용을 가능하게 한다고 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 하그의 정리는 상호작용이 존재하는 표준 양자장 이론이 수학적으로 비어있다고 시사하는가?
• RQ2 상호작용 그림에서의 유니타리 동치 실패가 상호작용 장이 자유장과 유니타리로 관련될 수 없다는 결론으로 이어지는 방식은 무엇인가?
• RQ3 재규합이 하그의 정리의 가정, 특히 연계자의 유니타리성에 어떻게 위배되는가?
• RQ4 겔-망과 로우 정리는 하그의 정리가 존재하는 상황에서도 비어있지 않은 S행렬 요소를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 위트먼 공리계와 장 연산자의 스펙트럼 성질이 상호작용 양자장의 구조를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 하그의 정리는 표준 공리적 프레임워크 하에서 자유장과 상호작용 장 사이의 오직 하나의 유니타리 연계자만 존재하며, 이는 비어있는 S행렬로 이어진다.
• 상호작용이 존재할 경우 상호작용 그림의 연계자는 유니타리가 될 수 없으며, 이는 상호작용 장이 자유장과 유니타리 동치가 될 수 없음을 의미한다.
• 재규합은 유니타리성 가정을 위반함으로써 하그의 정리를 우회한다: 반대항이 유니타리 동치를 요구하는 조건을 깨뜨림으로써 비어있지 않은 상호작용을 가능하게 한다.
• 겔-망과 로우 정리는 점진적으로 끄는 상호작용이 비유니타리 진동을 유도하지만, 이는 비어있지 않은 S행렬 요소를 가능하게 한다.
• 장 연산자의 스펙트럼 분석은 장이 질량 초구면 위에 지지되어야 하며, 그 교환관계가 위트먼 함수에 의해 완전히 결정됨을 보여주며, 이는 위크-오더링된 교환항으로 이어진다.
• 장 교환관계의 진공 기대값은 $ W(f,h) - W(h,f) $ 로 주어지고, 홀수 $ n $ 에서의 고차 위트먼 함수는 0이 되며, 짝수 차수 함수는 위크 교환항의 합으로 이루어진다.