[논문 리뷰] Haagerup approximation property and positive cones associated with a von Neumann algebra

Rui Okayasu, Reiji Tomatsu|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 아라키의 일차 파라미터 양의 원뿔 가중치를 사용하여 von Neumann 대수에 대한 α-Haagerup 근사성질(α-HAP)을 도입하며, α ∈ [0, 1/2]에서 α-HAP이 α의 선택에 관계없이 독립적임을 증명한다. 표준 형식을 통한 정의와 완전히 양의 매핑을 통한 정의 사이의 두 기존 정의가 동치임을 확립하고, 이를 비가환 L^p-공간(1 < p < ∞)으로 확장하여 L^p-Haagerup 근사성질이 p ∈ (1, ∞)에 대해 독립적임을 보인다.

ABSTRACT

We introduce the notion of the $α$-Haagerup approximation property for $α\in[0,1/2]$ using a one-parameter family of positive cones studied by Araki and show that the $α$-Haagerup approximation property actually does not depend on a choice of $α$. This gives us a direct proof of the fact that two characterizations of the Haagerup approximation property are equivalent, one in terms of the standard form and the other in terms of completely positive maps. We also discuss the $L^p$-Haagerup approximation property for a non-commutative $L^p$-spaces associated with a von Neumann algebra ($1

연구 동기 및 목표

• von Neumann 대수에 대한 두 개의 상이한 Haagerup 근사성질(HAP) 정의가 동치인지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 순환적이고 분리적인 벡터와 관련된 아라키의 일차 파라미터 양의 원뿔 가중치를 사용하여 α-Haagerup 근사성질을 도입하고 연구하기 위해.
• α-HAP이 [0, 1/2] 내의 α 선택에 관계없이 독립적임을 증명함으로써, HAP의 두 정의를 통합하기 위해.
• 비가환 L^p-공간(1 < p < ∞)으로 HAP를 확장하고, L^p-HAP가 p에 대해 독립적임을 보이기 위해.
• L^p-공간의 맥락에서 HAP와 완전히 양의 근사성질(CPAP) 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• α ∈ [0, 1/2]에 대해 아라키의 양의 원뿔 P^α를 사용하여 α-Haagerup 근사성질을 정의하며, 이는 표준 원뿔 P^0, 자연 원뿔 P^{1/4}, 쌍대 원뿔 P^{1/2} 사이를 보간하는 역할을 한다.
• α-HAP가 α에 독립적임을 보이기 위해, 만약 von Neumann 대수 M이 어떤 α ∈ [0, 1/2]에 대해 α-HAP를 만족하면, 모든 α ∈ [0, 1/2]에 대해 만족함을 증명한다.
• 칼데론의 복소 보간 방법을 사용하여 서로 다른 p에 대한 L^p-공간을 연결하며, 특히 표준 형식인 L^2(M)과 1 < p < ∞에 대한 L^p(M)를 연결한다.
• 관련된 GNS 표현과 구현 맵를 이용하여 L^p(M) 위의 정규적, 완전히 양의, 컴act 연산자로 구성된 네트워크를 구축하고, 항등원으로 강한 수렴을 이룬다.
• 복소 보간의 재진술 정리(reiteration theorem)를 활용하여 컴팩트성과 수렴 성질을 L^p에서 L^2로, 그리고 그 반대로 옮긴다.
• A. M. 토르페와 L. M. 셰밋의 기법을 응용하여 L^p(M) 위의 c.p. 매핑과 M 위의 c.p. 매핑 사이의 관계를 설정하며, 코어 대수의 영속성 결과에 의존하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 von Neumann 대수에 대해, 표준 형식에 기반한 정의와 완전히 양의 매핑에 기반한 정의 사이의 두 기존 Haagerup 근사성질 정의가 동치인가?
• RQ2 아라키의 일차 파라미터 양의 원뿔 가중치에 의해 정의된 α-Haagerup 근사성질이 α ∈ [0, 1/2]의 선택에 따라 달라지는가?
• RQ3 비가환 L^p-공간(1 < p < ∞)에 대한 L^p-Haagerup 근사성질이 p의 선택에 관계없이 독립적인가?
• RQ4 기존의 CPAP 동치성과 유사하게, L^p-공간에서 HAP와 CPAP 사이의 동치성은 HAP 설정으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 아라키의 양의 원뿔은 Haagerup 근사성질의 다양한 표현 방식을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• α-Haagerup 근사성질은 α ∈ [0, 1/2]에 대해 독립적이며, 이는 만약 von Neumann 대수 M이 이 구간 내의 어떤 α에 대해 α-HAP를 만족하면, 그 구간의 모든 α에 대해 만족한다는 것을 의미한다.
• 표준 형식을 통한 정의와 완전히 양의 매핑을 통한 정의 사이의 Haagerup 근사성질 두 정의는 동치이며, 이 동치성은 아라키의 원뿔을 직접적으로 사용한 내재적이고 직접적인 증명을 통해 이제 확립되었다.
• L^p-Haagerup 근사성질은 p ∈ (1, ∞)에 대해 독립적이며, 따라서 M이 어떤 p ∈ (1, ∞)에 대해 L^p-HAP를 만족하면, 모든 p ∈ (1, ∞)에 대해 만족한다.
• von Neumann 대수 M이 Haagerup 근사성질을 가진다 하는 것과, 모든 p ∈ (1, ∞)에 대해 L^p(M)에 대해 L^p-HAP를 가진다는 것과 동치이며, 이는 L^p(M) 위의 정규적, 완전히 양의, 컴팩트 연산자로 이루어진 네트워크가 항등원으로 강한 수렴을 이룬다는 것과도 동치이다.
• L^p-HAP의 p-독립성 증명은 복소 보간과 재진술 정리를 기반으로 하며, 이는 컴팩트성과 강한 수렴 성질을 L^p에서 L^2로, 그리고 그 반대로 이동시키는 데 유용하다.
• 기존의 M에서의 CPAP와 L^p(M)에서의 CPAP 간의 동치성 결과를 HAP 설정으로 일반화하여, M이 HAP를 가진다는 것과, 어떤/모든 p ∈ (1, ∞)에 대해 L^p(M)가 CPAP를 가진다는 것이 동치임을 보였다.