[논문 리뷰] Haar-finite sets in metric groups and their applications

Тарас Банах, Eliza Jabłońska|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 25.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 거리군 내에서 null-finite 집합을 도입하며, 이는 하르-널(null) 및 하르-메이저(meager) 집합을 통합하는 새로운 소작(소작) 집합의 가족이다. 완비 거리 아벨 군 내의 보렐(null-finite) 집합이 하르-널 및 하르-메이저임을 증명하고, 이는 함수방정식에 적용되어, 완비 거리선형공간 내 열린 볼록집합에서의 중점볼록함수는 비-null-finite 보렐집합에서 위로 유계이면 연속임을 보여주며, 이는 기하학적 함수방정식 이론에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In the paper we introduce a new family of small sets which is tightly connected with two well known $\sigma$-ideals: of Haar-null sets and of Haar-meager sets. We define a subset $A$ of a topological group $X$ to be $\mathit{null}$-$\mathit{finite}$ if there exists an infinite compact subset $K\subset X$ such that for every $x\in X$ the intersection $K\cap (x+A)$ is finite. We prove that each null-finite Borel set in a complete metric Abelian group is Haar-null and Haar-meager. The Borel restriction in the above result is essential as each non-discrete metric Abelian group is the union of two null-finite sets. Applying null-finite sets to the theory of functional equations and inequalities, we prove that a mid-point convex function $f:G o\mathbb R$ defined on an open convex subset $G$ of a metric linear space $X$ is continuous if it is upper bounded on a subset $B$ which is not null-finite and whose closure is contained in $G$. This gives an alternative short proof of a known generalization of Bernstein-Doetsch theorem (saying that a mid-point convex function $f:G o\mathbb R$ defined on an open covex subset $G$ of a metric linear space $X$ is continuous if it is upper bounded on a non-empty open subset $B$ of $G$). Since Borel null-finite sets are Haar-meager and Haar-null, we conclude that a mid-point convex function $f:G o\mathbb{R}$ defined on an open convex subset $G$ of a complete linear metric space $X$ is continuous if it is upper bounded on a Borel subset $B\subset G$ which is not Haar-null or not Haar-meager in $X$. The last result resolves an old problem in the theory of functional equations and inequalities posed by Baron and Ger in 1983.

연구 동기 및 목표

• 위상군 내에서 하르-널 및 하르-메이저 집합의 성질을 통합하는 새로운 소작 집합인 null-finite 집합을 정의하고 연구하는 것.
• 완비 거리 아벨 군에서 보렐 null-finite 집합이 하르-널 및 하르-메이저임을 증명하여 군 위의 측도이론에서 기본적인 질문에 답하는 것.
• null-finite 집합 이론을 함수방정식에 적용하여 중점볼록함수의 연속성 기준을 연구하는 것.
• 바론(Baron)과 게르(Ger)가 1983년에 제기한, 더 약한 유계 조건 하에서 중점볼록함수의 연속성 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 위상군 $ X $의 부분집합 $ A \subset X $를, 모든 $ x \in X $에 대해 $ K \cap (x + A) $ 가 유한집합이 되는 무한 컴act 집합 $ K \subset X $ 가 존재하는 경우 null-finite라고 정의한다.
• 완비 거리 아벨 군의 구조를 이용하여 모든 보렐 null-finite 집합이 하르-널 및 하르-메이저임을 증명한다.
• 중점볼록함수의 유계성 분석을 통해 null-finite 프레임워크를 함수방정식에 적용한다.
• 보렐 null-finite 집합이 하르-메이저 및 하르-널임을 이용하여 더 약한 유계 조건 하에서 연속성 결과를 도출한다.
• σ-이데알 이론과 위상군의 구조를 활용하여 소작성질과 실수값 함수의 정규성 간의 관계를 설정한다.
• 개방된 유계 조건을 비-null-finite 보렐집합으로 대체함으로써 베르누이-도에츠 정리의 짧고 대체적인 증명을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상군 내에서 null-finite 집합, 하르-널 집합, 하르-메이저 집합 간의 관계는 무엇인가?
• RQ2 완비 거리 아벨 군 내의 보렐 null-finite 집합은 반드시 하르-널 및 하르-메이저인가?
• RQ3 베르누이-도에츠 정리의 유계 조건을 개방된 집합에서 비-null-finite 보렐집합으로 약화시킬 수 있는가?
• RQ4 완비 거리선형공간 내 열린 볼록부분집합에서 정의된 중점볼록함수는 비-null-finite 보렐집합에서 위로 유계이면 여전히 연속적인가?
• RQ5 null-finite 집합을 사용하여 1983년 바론과 게르가 제기한 중점볼록함수의 연속성 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 완비 거리 아벨 군 내의 모든 보렐 null-finite 집합은 하르-널 및 하르-메이저이다.
• 각 비이산 거리 아벨 군은 두 개의 null-finite 집합으로 분할될 수 있으며, 이는 주요 정리에서 보렐 제약 조건이 본질적임을 보여준다.
• 거리선형공간 내 열린 볼록부분집합 $ G $ 에서 정의된 중점볼록함수 $ f: G \to \mathbb{R} $ 는 $ G $ 내에 포함된 닫힘집합을 갖는 비-null-finite 부분집합 $ B \subset G $ 에서 위로 유계이면 연속적이다.
• 이 결과는 개방된 유계 조건을 비-null-finiteness로 대체함으로써 일반화된 베르누이-도에츠 정리의 새로운 간결한 증명을 제공한다.
• 완비 선형거리공간 내에서, 중점볼록함수가 보렐 부분집합 $ B \subset G $ 에서 위로 유계이면, 이 집합이 하르-널이 아니거나 하르-메이저가 아니면 함수는 연속적이다. 이는 바론과 게르가 1983년에 제기한 문제를 해결한다.
• null-finite 집합은 하르-널 및 하르-메이저 집합을 통합하는 프레임워크를 제공하며, 함수방정식 및 위상군 이론에 새로운 도구를 제공한다.