[논문 리뷰] Haar states and L\'evy processes on the unitary dual group

Guillaume Cébron, Michaël Ulrich|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 29.

Random Matrices and Applications참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유니타리 이중군, 즉 유니타리 군 U(n)의 비가환 구조 일반화인 유니타리 이중군에서 하르 상태와 레비 과정을 조사한다. 자유, 텐서, 부울, 단조, 반단조의 다섯 가지 표준 콘볼루션에 대해 하르 상태의 존재하지 않음을 증명하지만, 자유 및 텐서 콘볼루션에 대해 더 약한 '하르 트레이스'의 존재를 입증한다. 자유 하르 트레이스는 차원이 무한으로 갈 때 하르 유니타리 행렬의 블록들의 분포 수렴의 극한으로 나타나며, 고전적 유니타리 군에서의 랜덤 행렬 블록들의 극한으로 나타나는 자유 레비 과정의 일종이 이중군 위에서 식별된다.

ABSTRACT

We study states on the universal noncommutative *-algebra generated by the coefficients of a unitary matrix, or equivalently states on the unitary dual group. Its structure of dual group in the sense of Voiculescu allows to define five natural convolutions. We prove that there exists no Haar state for those convolutions. However, we prove that there exists a weaker form of absorbing state, that we call Haar trace, for the free and the tensor convolutions. We show that the free Haar trace is the limit in distribution of the blocks of a Haar unitary matrix when the dimension tends to infinity. Finally, we study a particular class of free L\'evy processes on the unitary dual group which are also the limit of the blocks of random matrices on the classical unitary group when the dimension tends to infinity.

연구 동기 및 목표

• 유니타리 이중군에서 다섯 가지 표준 콘볼루션(자유, 텐서, 부울, 단조, 반단조)에 대해 하르 상태의 존재를 조사한다.
• 자유 및 텐서 콘볼루션에 대해 더 약한 흡수 상태인 '하르 트레이스'의 존재를 확립한다.
• 자유 하르 트레이스가 차원이 무한으로 갈 때 하르 유니타리 행렬의 블록들의 분포 수렴의 극한임을 특성화한다.
• 고전적 유니타리 군 위의 랜덤 행렬 과정의 극한으로 나타나는 자유 레비 과정의 일군을 이중군 위에서 식별한다.
• 랜덤 행렬 블록이 자유 레비 과정으로 수렴하는 것을 새로운 스토하스틱 미적분학적 접근을 통해 재증명하고, 포크 공간 위의 자유 레비 과정에 대한 임bedding 정리를 확립한다.

제안 방법

• 보이쿨루스쿠의 이중군 프레임워크를 이용해 비가환 ∗-대수 Unc_n로 구성된 유니타리 이중군 U⟨n⟩을 정의하고, 다섯 가지 콘볼루션 구조를 도입한다.
• 자기 조합적 자유 확률론과 자유 누적량 이론을 사용하여, Mn(C) 위의 정규화된 추적과 원 위의 하르 측도의 자유 곱 상태가 자유 콘볼루션에 대해 하르 트레이스임을 증명한다.
• 슐름안 트리플 이론을 적용하여 U⟨n⟩ 위의 자유 레비 과정을 특성화하고, 포크 공간 위의 스토하스틱 미분 방정식을 통해 그 생성자를 유도한다.
• N → ∞ 일 때, U(nN) 위의 브라운 운동의 블록들이 ∗-분포에서 U⟨n⟩ 위의 자유 레비 과정으로 수렴함을 보인다.
• 하르 유니타리 행렬 블록의 극한을 취해 자유 하르 트레이스의 랜덤 행렬 모델을 구성하고, 분포 수렴을 통해 자유 하르 트레이스로 수렴함을 보인다.
• 표현 jt(uij) = E1iUtEj1을 사용하여 자유 레비 과정을 포크 공간 구조로 임베딩하고, 자유 레비 과정에 대한 임베딩 정리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니타리 이중군에서 다섯 가지 표준 콘볼루션(자유, 텐서, 부울, 단조, 반단조)에 대해 하르 상태가 존재하는가?
• RQ2 자유 및 텐서 콘볼루션에 대해 더 약한 흡수 상태인 '하르 트레이스'를 정의할 수 있는가?
• RQ3 자유 하르 트레이스는 차원이 무한으로 갈 때 하르 유니타리 행렬의 블록들의 분포 수렴의 극한인가?
• RQ4 어떤 자유 레비 과정이 고전적 유니타리 군 위의 레비 과정의 블록들의 극한으로 나타나는가?
• RQ5 랜덤 행렬 블록이 자유 레비 과정으로 수렴하는 것은 새로운 스토하스틱 미적분학적 접근을 통해 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• n ≥ 2 일 때, 유니타리 이중군 위의 다섯 가지 표준 콘볼루션에 대해 하르 상태는 존재하지 않는다.
• 자유 및 텐서 콘볼루션에 대해서는 하르 트레이스가 존재하지만, 부울, 단조, 반단조 콘볼루션에는 존재하지 않는다.
• 자유 하르 트레이스는 차원이 무한으로 갈 때 크기가 nN인 하르 유니타리 행렬의 n²개 블록들의 분포 수렴의 극한이다.
• 자유 하르 트레이스는 고전적 유니타리 군 U(nN) 위의 브라운 운동의 블록들이 N → ∞ 일 때의 극한으로 나타난다.
• 특정 자유 레비 과정의 일군이 [9]의 레비 과정 모델의 블록들이 N → ∞ 일 때의 극한으로 나타남을 보였다.
• 자유 유니타리 브라운 운동 (Ut)t≥0에 대해 Jt(uij) = E1iUtEj1로 정의된 자유 레비 과정 (Jt)t≥0는 t → ∞ 일 때 자유 하르 트레이스로 분포 수렴한다.