[논문 리뷰] Haar system as Schauder basis in Besov spaces: The limiting cases for 0 < p <= 1

Peter Oswald|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 24.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 0 < p < 1 이고 0 < q ≤ p 일 때 임계 한계 경우 s = d(1/p − 1) 에서 고전적이고 차분 기반 베소프 공간에서 d차원 하르 체계의 샤우더 기저 성질을 확립한다. 원자 분해와 국소 평균을 이용하여, 이러한 조건 하에서 하르 체계가 Bs_p,q,1(Id) 및 Bs_p,q(Id) 에서 샤우더 기저를 이룬다는 것을 증명하며, 1979년 이후 남아 있던 마지막 미해결 케이스를 해결한다. 이 결과는 0 < p ≤ 1 에서의 전체 매개변수 범위에서 하르 기저 성질을 완전히 특성화한다.

ABSTRACT

We show that the d-dimensional Haar system H^d on the unit cube I^d is a Schauder basis in the classical Besov space B_{p,q,1}^s(I^d), 0<p<1, defined by first order differences in the limiting case s=d(1/p-1), if and only if 0<q\le p. For d=1 and p<q, this settles the only open case in our 1979 paper [4], where the Schauder basis property of H in B_{p,q,1}^s(I) for 0<p<1 was left undecided. We also consider the Schauder basis property of H^d for the standard Besov spaces B_{p,q}^s(I^d) defined by Fourier-analytic methods in the limiting cases s=d(1/p-1) and s=1, complementing results by Triebel [7].

연구 동기 및 목표

• 0 < p < 1 이고 p < q < ∞ 일 때, 임계 매개변수 s = d(1/p − 1) 에서 d차원 하르 체계가 베소프 공간 Bs_p,q,1(Id) 에서 샤우더 기저인지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 0 < p ≤ 1 의 전체 범위에서 차분 기반 및 푸리에 해석적 베소프 공간에서 하르 체계의 샤우더 기저 성질을 완전히 특성화하기 위해.
• 이전 결과가 빈틈을 남긴, s = d(1/p − 1) 와 s = 1 에서 하르 체계의 한계 케이스를 해결하기 위해.
• 원자 분해와 국소 평균 기법을 사용하여, 다변수 환경, 특히 d > 1 에서 이전의 단변수 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 베소프 공간의 함수에 대한 원자 분해를 사용하여 하르 계수와 부분합 연산자의 행동을 분석한다.
• 부드러운 커널을 통한 베소프 노름의 국소 평균 특성화를 적용하여 부분 사영의 쿼asi-노름을 제어한다.
• 이중 분해와 커널에 대한 모멘트 조건을 사용하여 국소 평균 연산자의 Lp 쿼asi-노름을 추정한다.
• 함수와 그 이중 사영 간의 차이의 Lp 노름을 제어하여 부분합 연산자의 균일 유계성을 확립한다.
• 논문 [4] 의 단변수 반례를 다변수 환경으로 적응하여 임계 매개변수 범위에서의 유계성 실패와 계수 함수형의 확장 실패를 보여준다.
• 차분 기반과 푸리에 해석적 베소프 노름 간의 비교를 적용하여 d/(d+1) < p ≤ 1 의 범위에서 등가성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 s = d(1/p − 1) 이고 0 < p < 1, 0 < q ≤ p 일 때, d차원 하르 체계는 Bs_p,q,1(Id) 에서 샤우더 기저를 이룬다 할 수 있는가?
• RQ2 s = d(1/p − 1) 이고 q > p 일 때, Bs_p,q,1(Id) 에서 하르 체계의 샤우더 기저 성질은 어떻게 되는가?
• RQ3 s = d(1/p − 1) 이고 d/(d+1) < p < 1, 0 < q ≤ p 일 때, 표준 베소프 공간 Bs_p,q(Id) 에서 하르 체계는 샤우더 기저인가?
• RQ4 s = 1 이고 d/(d+1) ≤ p < 1, 0 < q < ∞ 일 때, 왜 하르 전개가 Bs_p,q(Id) 에서 수렴하지 않는가?
• RQ5 s = d(1/p − 1) 이고 q > 1 일 때, 하르 전개의 계수 함수형은 Bs_p,q,1(Id) 상에서 유계선형 함수형으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• d ≥ 1 이고 d/(d+1) < p < 1 일 때, d차원 하르 체계는 Bs_p,q,1(Id) 에서 샤우더 기저이기 위한 필요충분조건은 s = d(1/p − 1) 이고 0 < q ≤ p 이다.
• s = d(1/p − 1) 이고 p < q ≤ 1 일 때, 하르 전개의 부분합 연산자는 Bs_p,q,1(Id) 상에서 균일 유계가 아니며, 이는 기저 성질의 실패를 시사한다.
• s = d(1/p − 1) 이고 1 < q < ∞ 일 때, 하르 체계의 스칼라 계수 함수형은 Bs_p,q,1(Id) 상에서 유계선형 함수형으로 확장될 수 없으며, 따라서 체계는 샤우더 기저가 아니다.
• s = 1 이고 d/(d+1) ≤ p < 1, 0 < q < ∞ 일 때, f(x) = x1 + ... + xd 의 전개가 발산함을 보여줌으로써, 하르 체계는 Bs_p,q(Id) 에서 샤우더 기저가 아니다.
• 표준 베소프 공간 Bs_p,q(Id) 에서, s = d(1/p − 1) 이고 d/(d+1) < p < 1, 0 < q ≤ p 일 때, 하르 체계는 샤우더 기저이며, 이는 특성화를 완성한다.
• 결과는 전체 공간 Rd 로 확장되며, p, q, s 에 동일한 조건이 적용되며, 하르 체계는 동일한 매개변수 제약 조건 하에서 여전히 샤우더 기저이다.