[논문 리뷰] Hadamard matrices of small order and Yang conjecture

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 27.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Hadamard 행렬의 순서 $4n$에 대해 이전에 잘못 분류된 '나쁜' 케이스 138건을 수정한다. 이는 near-normal 시퀀스와 base 시퀀스의 존재로 인해 실제로는 '좋은' 경우임을 규명함으로써 이루어지며, Yang 추측이 모든 짝수 $n \leq 40$에 대해 참임을 입증한다. 이는 $n = 36, 38, 40$에 대해 $NN(n)$ 동치류의 유일성과 함께, 이전에 반례가 존재할 것으로 기대된 바를 고려할 때 놀라운 결과이다.

ABSTRACT

We show that 138 odd values of n less than 10000 for which one knows how to construct a Hadamard matrix of order 4n have been overlooked in the recent handbook of combinatorial designs. There are four additional odd n, namely 191, 5767, 7081 and 8249, in that range for which we can construct a Hadamard matrix of order 4n. Our exhaustive computer searches show that the near-normal sequences NN(n) exist for n=36,38,40. Thus the Yang conjecture on the existence of NN(n) for all even n has been verified for n <= 40 but it still remains open.

연구 동기 및 목표

• Hadamard 행렬의 순서 $4n$에 대해 이전에 잘못 분류된 138건의 케이스를 수정함. 이는 $HM(4n)$가 $t \geq 3$를 필요로 한다고 여겨졌으나, 실제로는 near-normal 시퀀스와 base 시퀀스의 존재로 인해 '좋은' 경우임을 규명함.
• 이전에 반례가 존재할 것으로 예상되었음에도 불구하고, 모든 짝수 $n \leq 40$에 대해 near-normal 시퀀스 $NN(n)$의 존재에 관한 Yang 추측을 검증함.
• 기존의 base 시퀀스 및 near-normal 시퀀스 결과를 활용하여 $n=191, 5767, 7081, 8249$에 대해 $HM(4n)$의 존재성을 입증함.
• 수정된 케이스에 대해 Yang 곱셈, T-시퀀스, 및 정규직교 설계를 이용하여 $HM(4n)$의 명시적 구성법을 제공함.
• $NN(36)$, $NN(38)$, $NN(40)$에 대해 $NN$-동치류의 유일성을 확립함으로써 Yang 추측의 열린 상태를 강화함.

제안 방법

• Proposition 2.1을 적용하여 $HM(4n)$의 존재성과 $NN(l)$, $BS(r,s)$, $BHW(4h)$, $WT(w)$의 존재성을 연결함. Yang 곱셈과 정규직교 설계 구성법을 활용함.
• Golay 시퀀스 및 base 시퀀스($BS(r,s)$)에 대한 기존 결과를 활용함. $r,s$의 범위는 36까지이며, $BS(37,36)$는 $NN(36)$의 존재를 통해 구성됨.
• $NN$-동치의 표준형을 활용하여, SHARCNET에서 고성능 컴퓨팅을 통해 짝수 $n \leq 40$에 대해 $NN$-동치류를 체계적으로 수록함.
• 다음 체인을 통해 $HM(4n)$를 구성함: $NN(l) \times BS(r,s) \to TS(t) \to OD(4ht) \to HM(4dw)$, 여기서 홀수 $w < 2000$에 대한 $WT(w)$는 기존 자료를, $w=35,127$에 대해서는 업데이트된 자료를 사용함.
• $NN(36)$의 존재를 기반으로 $BS(37,36)$의 존재성을 검증함. 이는 $NN$-동치의 표준형과 철저한 검색을 통해 이루어짐.
• 이전 연구에서 제안된 인코딩 체계를 활용하여 $NN(n)$과 $BS(r,s)$를 압축된 기계 판독 가능 형식으로 표현함으로써 검증성과 재현 가능성을 확보함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 Hadamard 행렬의 순서 $4n$에 대해 138건의 케이스가 Handbook of Combinatorial Designs에서 '나쁜' 경우로 잘못 분류되었는가?
• RQ2 near-normal 시퀀스와 base 시퀀스를 포함한 기존 구성법을 통해 $n \in \Delta$에 대해 $HM(4n)$의 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 모든 짝수 $n > 0$에 대해 $NN(n)$이 존재한다는 Yang 추측이 모든 짝수 $n \leq 40$에 대해 참인가?
• RQ4 $n = 36, 38, 40$에 대해 $NN(n)$의 $NN$-동치류 수는 얼마이며, $n = 30$을 초과해도 유일성이 유지되는가?
• RQ5 기존의 base 시퀀스와 near-normal 시퀀스 지식을 활용하여, 추가로 네 개의 케이스 $n = 191, 5767, 7081, 8249$에 대해 $HM(4n)$가 존재함을 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 이전에 $HM(4n)$의 존재가 $t \geq 3$를 필요로 한다고 여겨졌던 138건의 '나쁜' 경우는 실제로는 기존 구성법을 통해 $HM(4n)$를 갖는 '좋은' 경우임이 규명됨.
• $n = 191, 5767, 7081, 8249$에 대해 $HM(4n)$의 존재성이 $NN(36)$와 $BS(37,36)$를 통해 입증됨. 이 경우 $w = 79, 97, 113$로 각각 설정되며, 아직 해결되지 않은 '나쁜' 경우의 수는 864건으로 감소함.
• $NN(36)$, $NN(38)$, $NN(40)$에 대해 각각 정확히 하나의 $NN$-동치류가 존재함을 확인함. 이는 각 경우에 대해 유일한 표준형이 존재함을 의미함. 이는 이전에 다수의 동치류가 존재할 것으로 예상된 바를 고려할 때 놀라운 결과임.
• $NN(40)$의 계산은 SHARCNET에서 약 1300일의 CPU 시간이 소요되었으며, 이는 $n \leq 40$에 대해 철저한 검색의 가능성을 확인함.
• $NN(36)$의 존재성에 기반하여 $BS(37,36)$의 구성이 가능함. 이는 $NN$-동치의 표준형과 철저한 수록을 통해 검증됨.
• $n = 32, 34, 36, 38, 40$에 대해 $NN(n)$의 명시적 예시를 인코딩된 형태로 제시함으로써, 이들의 존재성과 $NN$-동치에 대한 유일성이 확인됨.